Приклади характерних задач з розв’язанням. Задача 1. Показати, що для квантового КРГ середня енергія системи однозначно виражається через статистичну суму Z:

Задача 1. Показати, що для квантового КРГ середня енергія системи однозначно виражається через статистичну суму Z:

.

Розв’язання.З умови нормування для розподілу маємо

,

звідки статистична сума становить

. (1)

Продиференціюємо цю рівність за :

.

Оскільки середнє значення енергії за визначенням має вигляд

, (2)

порівнюючи (2) з (1), остаточно одержимо

. (3)

Задача 2. Навести графіки розподілу Фермі–Дірака для :

а) за станами;

Б) за енергіями.

Розв’язання. Розподіл середнього числа фермі-частинок за станами має вигляд

. (1)

Графік цієї залежності можна зобразити для двох значень параметра : та деякого .

Тут - стан, енергія якого дорівнює хімічному потенціалу при (енергія Фермі). Відповідний розподіл за енергіями запишемо так:

, (2)

де - розподіл числа станів за енергіями, а - незалежна від енергії ε стала. Отже, графік розподілу (2) матиме вигляд:

Задача 3. Показати, що хімічний потенціал бозе-газу, залишаючись від’ємним, монотонно зменшується з ростом температури.

Розв’язання. Повне число N частинок бозе-газу в об’ємі V можна записати у вигляді

, (1)

де ; - спін частинок.

Продиференціюємо (1) за при сталому значенні N. Одержимо

,

звідки

.

Знак правої частини цієї рівності визначається знаком різниці . Тому при від’ємних маємо , тобто, залишаючись від’ємним, хімічний потенціал з ростом температури зменшується.

Задача 4. Показати, що для квантових нерелятивістських ідеальних газів справедлива формула .

Розв’язання. Середня енергія E квантового ідеального газу дорівнює

, (1)

де для бозе-частинок і для фермі-частинок.

З іншого боку, великий термодинамічний потенціал , пов’язаний з великою статистичною сумою Z співвідношенням , тобто

. (2)

З великого квантового канонічного розподілу маємо

,

де n_i - число частинок в і-му квантовому стані з енергією ε_i; .

Для бозе-газу (μ від’ємне)

, (3)

для фермі-газу

. (4)

Праві частини рівностей (3) та (4) можна записати як єдиний вираз , так що (2) матиме вигляд

. (5)

Суму за станами в (5) можна замінити інтегруванням за енергією ε, спочатку домноживши праву частину на розподіл станів за енергіями, що дає

, (6)

де тепер вже .

Інтегруючи (6) за частинами , одержимо

. (7)

Порівнюючи (7) з (1), остаточно маємо

, (8)

що, до речі, справедливо і для класичних ідеальних газів.

Задача 5. Визначити тиск в електронному газі при Т=0К.

Розв’язання. З формули (1) попередньої задачі при матимемо (для електронів )

, (1)

де - максимальна енергія електронів при 0 К. Порівнюючи (1) з формулою (8) попередньої задачі, запишемо шуканий тиск Р:

. (2)

Величина дорівнює хімічному потенціалу при 0 К і становить

, (3)

де n - густина частинок. Підставляючи (3) у (2) (з урахуванням, що для електронів ), остаточно одержимо

.