И собственные значения операторА

Собственная функция оператора определяется уравнением

, (2.8)

где – собственное значение оператора для функции . Под действием оператора его собственная функция восстанавливается с точностью до постоянного множителя, который называется собственным значением.

Физический смысл собственного значения – если система находится в состоянии , то измерение величины A, описываемой оператором , дает однозначный результат . Собственные функции с разными собственными значениями взаимно ортогональны. Это исключает возможность получить при измерении неоднозначный результат.

Спектр оператора – это множество его собственных значений . Если счетное, то спектр дискретный. Если образует непрерывный набор, то спектр непрерывный. Возможен смешанный спектр ­­– в одной области собственных значений один тип, в примыкающей области другой тип спектра.

Если k разных собственных функций имеют одинаковые собственные значения, то спектр k-кратно вырожден.

Множество собственных функций оператора образует полный ортонормированный базис. Произвольное состояние частицы Ψ разлагается по этому базису

.

Как показано далее, коэффициент разложения является амплитудой вероятности, тогда – вероятность результата при измерении величины A в состоянии Ψ. Измерение проектирует состояние Ψ на орты базиса , проекция является амплитудой вероятности результата.

Коммутирующие операторы имеют одинаковый набор собственных функций, соответствующие физические величины одновременно имеют определенные значения.

Доказательство:

Пусть и – взаимно коммутирующие операторы, – собственная функция , тогда

.

Действуем оператором на обе стороны равенства

.

Учитываем коммутативность операторов

,

получаем

.

Следовательно, – собственная функция с собственным значением , поэтому она пропорциональная

.

Полученное равенство означает, что – собственная функция не только для , но и для с собственным значением .