Оператор проекции импульса

, . (2.2)

Действие оператора сводится к дифференцированию функции по координате и умножению на .

Свойства линейных операторов:

1) Умножение на число с

. (2.3)

Число выносится из под знака действия оператора.

2) Линейность

, (2.4)

где и – числа. Действие оператора на сумму функций равно сумме действий оператора на каждую функцию.

3) Сложение (вычитание) операторов

. (2.5)

Действие суммы операторов равно сумме действий каждого оператора.

4) Умножение оператора на оператор

. (2.6)

Вначале действует ближайший к функции оператор, затем на полученную функцию действует оператор, находящийся левее. Перемножаемые операторы в общем случае не перестановочны, например:

,

.

Перестановочное соотношение, или коммутатор операторов, определяется разностью их действий в прямом и обратном порядках

.

Операторы и коммутируют, если . Оператор коммутирует сам с собой, например:

, .

Физические величины, описываемые взаимно коммутирующими операторами, измеримы одновременно с неограниченной точностью.

Операторы не коммутируют, если , например

. (2.7)

Физические величины, описываемые взаимно некоммутирующими операторами, не измеримы одновременно с неограниченной точностью.