Собственная функция оператора проекции координаты

.

Пусть – собственная функция с собственным значением , тогда

Верхнее равенство является определением оператора координаты, нижнее – определением собственной функции и собственного значения. Приравниваем правые стороны

.

Сравниваем с фильтрующим свойством дельта-функции

,

находим

.

Полученная функция равна нулю во всех точках, кроме , где x₀ – любое вещественное число, поэтому спектр x₀ непрерывный. Вид функции согласуется с физическим смыслом состояния – частица обнаруживается только в точке с координатой x₀. В результате обоснована форма оператора координаты.

Как показано далее условие ортонормированности для непрерывного спектра имеет вид

.

Подстановка дает

.

Отсюда , тогда собственная функция оператора координаты, или волновая функция частицы, находящейся в точке x₀, есть

. (2.9)

Множество функций со всеми возможными собственными значениями образует базис с условиями ортонормированности и полноты

,

. (2.9а)

Первое равенство (2.9а) называется условием ортонормированности базиса функций с непрерывным спектром . Второе равенство называется условием полноты базиса , означающим, что произвольная функция координат разлагается по этому базису.