Прохождение частицы через потенциальный барьер

Рассмотрим потенциальный барьер простейшей прямоугольной формы (рис. 298, а) для одномерного (по оси х)движения частицы. Для потенциального барьера прямоугольной формы высоты

U и ширины l можем записать

При данных условиях задачи классическая частица, обладая энергией Е, либо беспрепятственно пройдет над барьером (при E>U), либо отразится от него (при Е<U) и будет двигаться в обратную сторону, т. е. она не может проникнуть сквозь барьер. Для микрочастицы же даже при E>U имеется отличная от нуля вероятность, что частица отразится от барьера и будет двигаться в обратную сторону. При E<U имеется также отличная от нуля вероятность, что частица окажется в области х>l, т.е. проникает сквозь барьер. Подобные, казалось бы, парадоксальные выводы следуют непосредственно из решения уравнения Шредингера, описывающего движение микрочастицы при условиях данной задачи. Уравнение Шредингера (217.5) для стационарных состояний для каждой из выделенных на рис. 298, а области имеет вид

(для области 2q²=2m (E-U}/h²). Общие решения этих дифференциальных уравнений: y(x)=A₁e^ikx+B₁e^-ikx (221.2) (для области 1); y₂(х)=А₂е^iqx+В₂е^-iqx (для области 2); y₃(x)=A₃e^ikx+B₃e^-ikx (221.3) (для области 3). В частности, для области 1 полная волновая функция, согласно (217.4), будет иметь вид

В этом выражении первый член представляет собой плоскую волну типа (219.3), распространяющуюся в положительном направлении оси х (соответствует части­це, движущейся в сторону барьера), а второй — волну, распространяющуюся в про­тивоположном направлении, т. е. отраженную от барьера (соответствует частице, движущейся от барьера налево).Решение (221.3) содержит также волны (после умножения на временной множитель), распространяющиеся в обе стороны. Однако в области 3 имеется только волна, прошедшая сквозь барьер и распространяющаяся слева направо. Поэтому коэффициент В₃ в формуле (221.3) следует принять равным нулю. В области 2 решение зависит от соотношений E>U или E<U. Физический интерес представляет случай, когда полная энергия частицы меньше высоты потенциального барьера, поскольку при E<U законы классической физики одно­значно не разрешают частице проникнуть сквозь барьер. В данном случае, согласно (221.1), q= ib — мнимое число, где b=Ö(2m(U-E)/h). Учитывая значение q и В₃=0, получим решения уравнения Шредингера для трех областей в следующем виде: y₁(x)=A₁e^ikx + B₁e^-ikx (для области 1), y₂(х)=А₂е^-bx+В₂e^bx (221.5) (для области 2), y₃(х)=А₃e^ikx (для области 3). В области 2 функция (221.5) уже не соответствует плоским волнам, распро­страняющимся в обе стороны, поскольку показатели степени экспонент не мнимые, а действительные. Можно показать, что для частного случая высокого и широкого барьера, когда bl>>1, В₂»0. Качественный вид функций y₁(x), y₂(х) и y₃(x) показан на рис. 298, б. Из рисунка следует, что волновая функция не равна нулю и внутри барьера, а в области 3, если барьер не очень широк, будет опять иметь вид волн де Бройля с тем же импульсом, т. е. с той же частотой, но с меньшей амплитудой. Следовательно, получили, что частица имеет отличную от нуля вероятность прохождения сквозь потенциальный барьер конечной ширины.