Запас устойчивости систем с цифровыми регуляторами

Оценка запаса устойчивости может проводиться с помощью корневого и частотного показателей колебательности. Примем к рассмотрению способ оценки запаса устойчивости по распределению корней характеристического уравнения замкнутой системы, который позволяет легко и просто выполнить вычисления на ЭВМ, границы заданного запаса устойчивости в пространстве параметров настройки регулятора по соотношениям, получающиеся из условия:

(4.21)

где m — заданная степень колебательности;

При этом частота меняется в пределах от w =0 до w =p/Т, а из бесконечно большого числа решений уравнения выбирается только одно, соответствующее минимальному w. Подставив в выражение (4.21) формулы (4.20), (4.8) и с учетом (4.11), получим:

(4.22)

Введем обозначение: . (4.23)

Тогда соотношение можно привести к виду:

. (4.24)

Комплексные функции переменной w в соотношении распишем в виде суммы действительной и мнимой частей:

(4.25)

; (4.26)

где: , — модуль и фаза расширенной комплексной частотной характеристики эквивалентного дискретного объекта.

Записав полученное равенство в виде системы двух уравнений (одно — для действительной, другое — для мнимой части равенства), решим эту систему относительно параметров . Пространство параметров настройки цифрового ПИД‑регулятора четырехмерно. Задаваясь конкретными значениями параметров Т и , можно в плоскости параметров построить параметрическую кривую. Область, ограниченная этой кривой и прямыми и , является областью заданного запаса устойчивости для выбранных значений Т и .

Расчёт оптимальных настроек цифровых регуляторов осуществляется методом расширенных частотных характеристик и проводится в два этапа. На первом этапе производим расчёт и построение в плоскости параметров настроек регулятора линии равной степени колебательности (m=const), на втором этапе определяем в области заданного запаса устойчивости настройки регулятора, обеспечивающие наилучшее качество регулирования. Линия равной степени колебательности m=const строится в плоскости параметров определяемых по формулам:

(4.27)

(4.28)

3.4 Последовательность расчета оптимальных настроечных
параметров

Процесс расчета оптимальных настроечных параметров будет состоять из следующих этапов:

1. Задаемся значением периода квантования Т. Увеличение периода квантования ведет к ухудшению качества процесса регулирования. Однако, при очень малых Т улучшение качества достигается за счет существенного возрастания затрат на управление. Поэтому не следует выбирать период квантования слишком малым. Для нахождения приемлемого периода квантования можно использовать следующие рекомендации:

Т=0,01Т₉₅¸0,1Т₀, в нашем случае T=(0,039¸0,275) мин.

где Т₉₅ ─ время достижения регулируемой координаты величины, равной 95% ее установившегося значения при действии на объект ступенчатого возмущения; Т₀─ доминирующая постоянная времени объекта.

2. Задаемся значением параметра К₃ = 0 и строим в плоскости параметров K₁, К₂ по уравнениям (33), (34) линию m = m₃ . При нахождении настроек примем m=0,366.

3. Примем в качестве оптимальных такие значения настроек ПИ- и ПИД‑регулятора, при которых система обладает запасом устойчивости не ниже заданного (m>mЗ) и коэффициент при интегральной составляющей в законе интегрирования имеет максимальную величину ( =max). Таким образом, для нахождения оптимальных настроек k₁, k₂, при заданных Т и достаточно определить точку максимума кривой равной степени колебательности m=m_з.

4. По определённым оптимальным настройкам k₁, k₂ задаёмся значением параметра из диапазона: строим в плоскости параметров новую линию m=mЗ и определяем новые значения оптимальных настроечных параметров. Такой порядок нахождения значения коэффициента К₃ связан с тем, что качество регулирования улучшается при увеличении К₃ лишь до некоторого его критического значения. Дальнейшее увеличение К₃ приводит к ухудшению качества регулирования.

5. Задаваясь рядом других значений периода квантования Т из диапазона Т=0,01Т₉₅ ¸0,1Т₀ определяем для них оптимальные настройки. Вычисление расширенной комплексной частотной характеристики эквивалентного объекта произведён по формуле:

(4.29)

Результаты расчета

Оптимальные настройки для каждого значения времени такта квантования выбирались на соответствующей линии m=0.221 и K₂=max.

Рис.3.3 Области заданного запаса устойчивости при при Tkw=0,039 и различных значениях настроечного параметра К₃

Рис.3.4 Области заданного запаса устойчивости при при Tkw=0,157 и различных значениях настроечного параметра К₃

Рис. 3.6 Области заданного запаса устойчивости при при T_kw=0,275 и различных значениях настроечного параметра К₃

Рис. 3.5 Области заданного запаса устойчивости при K₃=const и различных значениях времени такта квантования

4 Расчёт переходных процессов в цифровых АСР

Для синтеза АСР с заданными показателями качества работы необходимо построить переходные процессы для найденных параметров настройки регулятора и принять в качестве оптимальных те, при которых выполняются требования к качеству функционирования ЦАСР. Объект по каналу регулирования имеет передаточную функцию: .

По каналу возмущения передаточная функция объекта имеет вид:

.

Построим графики переходных процессов, которые будут происходить в системе, при различных возмущающих воздействиях: при изменении задания регулятора температуры на 0,5кг/см², при изменении хода регулирующего органа на 20%. При построении графиков используем найденные настройки регулятора при различных значениях такта квантования.

Рис.4.1Переходный процесс при времени квантования Tkw=0,0143, разных К₃ и изменении задания регулятору

Рис.4.2Переходный процесс при времени такта квантования Tkw=0,0143, разных К₃ и изменении воздействия по каналу возмущения на 20%

Рис.4.3 Переходный процесс при времени квантования Tkw=0,0827, разных К₃ и изменении задания регулятора

Рис.4.4Переходный процесс при времени такта квантования Tkw=0,0827, разных К₃ и изменении воздействия по каналу возмущения на 20%

Рис.4.5 Переходный процесс при времени квантования Tkw=0,151, разных К₃ и изменении задания регулятора.

Рис.4.6 Переходный процесс при времени такта квантования Tkw=0,151, разных К₃ и изменении воздействия по каналу возмущения на 20%.

Результаты анализа переходных процессов в системе регулирования температуры сведем в таблицу 2.

Таблица 2 - Сводные данные по расчёту

	Настройки регулятора	Воздействия
Tkw	к1	к2	к3	U = 1	FW = 20
Δθmах	Y	Тр	Δθmах	Y	Тр
0,0143	0,19	0,0044		0,46	0,33		0,57	0,8
0,234	0,0054	2,116	0,44	0,31	12,5	0,545	0,333
0,288	0,0065	4,232	0,42	0,29		0,525	0,2
0,0827	0,178	0,0243		0,45	0,33		0,573	1,12
0,215	0,029	0,325	0,42	0,29		0,55	0,62
0,233	0,0346	0,65	0,41	0,28		0,535	0,22
0,151	0,156	0,043		0,4	0,296	14,5	0,545	1,096
0,184	0,0487	0,1287	0,4	0,308		0,56	0,867
0,205	0,055	0,257	0,4	0,321		0,575	0,691

Выводы

Проанализировав результаты, приведенные в таблице 2, можно сделать следующий вывод:

За оптимальные настройки регулятора принимаем те настройки, которые обеспечивают заданное качество регулирования при возможно большем значении времени такта квантования T_Kw т.е. при наименьших затратах на управление.

Следовательно, в качестве оптимальных выбираем следующие значения настроенных параметров: K₁ = 0,19; К₂ = 0,0044; К₃ = 0; T_kw⁼0,0143 мин. При этом динамическая ошибка регулирования Δθ _mах =0,46, время регулирования Трег = 12. Степень затухания переходных процессов: по каналу управления , по каналу возмущения .

Остаточное отклонение регулируемого параметра, т.е. величина статической ошибки Δθ_ст = 0. Итак, рассчитанная АСР удовлетворяет требуемым показателям качества работы: динамическая ошибка и время регулирования не превышает заданных (допустимых) значений. Степень затухания Yпереходных процессов близка к расчетной. Статическая ошибка регулирования при использовании ПИД - регулятора равна нулю.

Список литературы

1. Дудников Е.Г. Автоматическое управление в химической промышленности: Учебник для ВУЗов. – М.: Химия, 1987.

2. Ф.Шински. Системы автоматического регулирования химико-технологических процессов. Пер. с англ. М., “Химия”, 1974

3. Цифровая АСР. Пример выполнения расчета в дипломных проектах и методические указания. КГТУ, 2004.

4. Федоров Ю.Н. Основы построения АСУТП взрывоопасных производств. В 2-х томах. Т.1 «Методология». – М.: СИНТЕГ, 2006. – 720с.