ЗРАЗКИ РОЗВ’ЯЗКУ ТИПОВИХ ЗАДАЧ

1. Число обертів ротора центрифуги досягає 2·10⁴ об/хв. Після відключення двигуна обертання припиняється через 8 хв. Визначити кутове прискорення, залежність кута повороту центрифуги від часу і кількість обертів, які зробить ротор до повної зупинки. Рух вважати рівнозмінним.

Розв’язок.

Кутова швидкість при рівносповільненому русі визначається рівнянням

де ε – кутове прискорення, ω₀ = 2 πn – початкова кутова швидкість.

Згідно умови задачі тоді

.

Залежність кута повороту ротора від часу при рівносповільненому русі:

За вказаний час від моменту виключення двигуна до повної зупинки, ротор повернеться на кут, який можна визначити за середньою кутовою швидкістю

;

Кількість обертів ротора до повної його зупинки

Відповідь: N = 8·10⁴ об.

2. Ротор центрифуги, який має момент інерції 5.10^{-3 кг}.м², обертається з частотою 2.10⁴ об/хв Після виключення центрифуги ротор обертається рівносповільнено і зупиняється через 8 хв. Визначити: 1) момент сил тертя;
2) роботу сил тертя.

Розв’язок.

Згідно основного рівняння динаміки обертового руху момент сил тертя М_тр = J ε,

де ε – кутове прискорення.

Кутова швидкість при рівносповільненому русі .

Для кінцевого випадку ω = 0,

тому тоді

Робота сил тертя дорівнює зміні кінетичної енергії обертового руху ротора центрифуги

Відповідь: М_тр = 0,131 Н·м; А -110 кДж.

3. За час t = 10 с амплітуда затухаючих коливань зменшилась в е раз. Визначити коефіцієнт затухання.

Розв’язок.

Амплітуда затухаючих коливань описується законом

А = А₀ е^-βt

Звідки , тоді з врахуванням умови задачі

е^βt = е, тобто βt = 1, звідки

Відповідь: β = 0,1 с^-1.

4. В повітрі при температурі 300 К знаходяться молекули анальгіну (С₁₅H₁₆N₃OSO₃Na). Яка середня квадратична швидкість цих молекул? Порівняти швидкість молекул анальгіну із швидкістю молекул кисню.

Розв’язок.

Молекули анальгіну, як і інші молекули газів характеризуються середнєю енергією поступального руху, яка рівна W_к = 3/2 kТ, але де _с.к. – середня квадратична швидкість. Тому

звідки для анальгіну

де - молярна маса анальгіну.

μ_А = (13.12 + 16.1 + 3.14 + 4.16 + 1.32 + 1.23) ·10^-3 кг/моль = 333.10 ^-3 кг/моль,
тоді

Для порівняння швидкостей молекул кисню і анальгіну скористаємось співвідношенням:

Відповідь: = 149,9 м/с. Середня квадратична швидкість молекул кисню в 3,23 рази більша від середньої квадратичної швидкості молекул анальгіну.

5. Визначити зміну ентропії водню масою 200 г при ізотермічному розширенні від об’єму V₁ до V₂ = 10 V₁. Газ вважати ідеальним.

Розв’язок.

Згідно І закону термодинаміки для замкнутих систем

dU = dQ + dA

При Т = const, DU = 0, тому

dQ = -dA = pdV

Зміна ентропії при ізотермічному процесі:

З рівняння стану ідеального газу . Тоді .

Після інтегрування одержимо:

Відповідь: DS » 1911,3 Дж/К

6. З якою силою діятиме звук частотою 1000 Гц на вушну мембрану площею 70 мм² при порогах слухового і больового відчуттів?

Розв’язок.

Згідно формули тиску звідки F = p × S.

Для нашого випадку р = Dр, де Dр – акустичний тиск, який пов’язаний з інтенсивністю звуку співвідношенням: ,

звідки де r і – відповідно густина повітря і швидкість звуку в повітрі.

Значить , тоді

,

.

Відповідь: F₁ » 2,08 ×10^-9 H; F₂ » 6,56 ×10^-4 H.

7. Визначити швидкість осідання еритроцитів у плазмі крові, вважаючи їх ізольованими кульками з діаметром 6 мкм і густиною 1090 кг/м³. Густина плазми крові 1030 кг/м³.

Розв’язок

Під час руху еритроцита в плазмі крові на нього діють: - сила тяжіння; – сила Архімеда; – сила Стокса.

Запишемо ІІ закон Ньютона для руху еритроцита

В проекціях на напрям руху, у випадку = const, а = 0, рівняння набуває вигляду: ,

де ,

, .

Тоді ,

звідки ;

.

Відповідь: .

8. З капіляра діаметром 1,2 мм капає етиловий спирт. Скільки крапель припадає на 1 г спирту? Діаметр шийки краплі на момент відриву вважати рівним діаметру капіляра.

Розв'язок:

Кількість крапель, які утворюються при витіканні етилового спирту масою m, визначається за формулою:

, де m_кр– маса однієї краплі.

На момент відриву краплі сила поверхневого натягу дорівнює вазі Р краплі: , де ; .

Тоді .

.

.

Відповідь: N 12 крапель.

9. Яка робота виконується при ростязі на 0,1 мм м’яза довжиною 5 см і діаметром 4 мм²? Модуль Юнга м’язевої тканини становить 8,9.10⁶ Н/м².

Розв’язок.

Механічна робота, яку виконує сила F при переміщенні деформації S тіла, визначається за формулою:

А = F S cos α.

Для нашого випадку α = 0⁰, cos0 = 1, S = .

Так як робота виконується зовнішньою силою проти сили пружності м’яза, яка зростає лінійно при його деформації від початкового значення до кінцевого , то слід використати середнє значення сили :

, бо F_n = 0.

Згідно закону Гука , де
тоді звідки .

Значить

Відповідь: А 1,12.10^-5 Дж.

10. Ліпідна мембрана товщиною 8 нм поділяє камеру на дві частини. Густина потоку речовини через мембрану незмінна і становить 5.10^{-4 М}.см/с, причому концентрація речовини по обидві сторони мембрани відповідно 10^-2.М і
4.10^{-3 М. Визначити коефіцієнт дифузії даної речовини через мембрану.}

Розв’язок.

Згідно рівняння Фіка

Для нашого випадку

тому звідки ; .

Відповідь: D 6,67.10^-8 см² /с.

11. Потенціал спокою нерва кінцівки краба дорівнює -80 мВ. Визначити концентрацію іонів калію всередині нерва, якщо ззовні вона складає 12 мМ. Температуру вважати рівною 27⁰С.

Розв’язок.

Згідно рівняння Нернста:

звідки

звідки тоді ,

де Т = 273 + t = 300 К. .

Відповідь: [K⁺]_i = 265,32 мМ.

12. На шовковій нитці підвішена маленька кулька масою 20 мг, що несе заряд q. Якщо на відстані 5 см нижче кульки на одній вертикалі помістити кульку з таким же зарядом, то сила натягу нитки зменшилась в три рази.

Визначити заряди кульок, вважаючи їх точковими. Відносна діелектрична проникність повітря 1.

Розв’язок.

Виходячи з умови рівноваги кульки можна записати наступні рівняння для сили натягу нитки у першому і другому випадках.

, ,

де – сила кулонівської взаємодії кульок.

Тоді

, звідки mg = кmg – kF;

.

З іншого боку за законом кулона .

Тому .

Звідки

Відповідь: q = 3,6 10^-7Кл.

13. Визначити кінцеву швидкість електрона в рентгенівській трубці у випадку робочої напруги 100 кВ.

Розв’язок.

Електричне поле виконує роботу, що призводить до зміни кінетичної енергії електрона.

, де ; .

Тоді звідки

Відповідь:= 1,88ּ10⁸ м/с.

14. Вольтметр опором 1000 Ом має шкалу до 50 В. Який додатковий опір слід підключити до вольтметру і як, щоб ним можна було вимірювати напругу до 300 В?

Розв’язок.

Додатковий опір R₂ cлід включити послідовно до вольтметра. Сила струму, що протікатиме через вольтметр, залишиться незмінною (I₁ = I₂).