Задача 7. Знайти статистичний інтеграл , внутрішню енергію і теплоємність ультрарелятивістського газу з законом дисперсії для окремої частинки, де – швидкість світла

Розв’язання. У межах канонічного розподілу Гіббса статистичний інтеграл для ультрарелятивістськього ідеального газу запишемо як

.

Конфігураційний інтеграл ідеального газу дорівнює: . Отже, переходячи до сферичних координат , матимемо

. (1)

Внутрішня енергія розраховується через статистичний інтеграл за формулою

. (2)

Тому, підставляючи (1) в (2), остаточно знаходимо:

та

.

Задача 8. Система являє собою стовп висотою і перетином одноатомного ідеального газу з частинок, які знаходяться в однорідному полі тяжіння з напруженістю . Визначити у граничних випадках: , .

Розв’язання. У нашому випадку повна енергія системи має вигляд

,

де – висота і-ї молекули газу. Для такої системи статистичний інтеграл Z можна записати у вигляді

,

що дає

.

Внутрішню енергію системи знаходимо за формулою (2) попередньої задачі:

. (1)

Отже, з (1) маємо

. (2)

Математичний аналіз точного результату (2) у граничних випадках дає:

1) при ,

2) при .

Як бачимо, перший граничний випадок призводить до класичного значення для одноатомного ідеального газу у відсутності зовнішнього поля, що зрозуміло, оскільки при цьому припущенні поле тяжіння не впливає на рух частинок системи.

У другому випадку можна було б скористатися теоремою про віріал, що дало б такий самий результат. До речі, у першому випадку ця теорема не працює, оскільки не виконується вимога: при .

Задачі для самостійного розв’язування

12.1. За допомогою канонічного розподілу Гіббса показати, що диференціальний вираз для елемента кількості теплоти має інтегрувальний множник, і знайти цей множник.

12.2. Показати, що для класичного одноатомного газу з частинок, енергія якого може змінюватися у вузькому інтервалі біля значення , ентропію можна зобразити у вигляді

,

де – коефіцієнт, що залежить від .

12.3. Показати, що отриманий у попередній задачі вираз для ентропії ідеального газу, узгоджується з отриманим в термодинаміці (формула (3.27)).

12.4. Два тіла з постійними температурами ^○С і ^○С вступають у теплообмін, завдяки якому більш холодне тіло отримало кількість теплоти Дж. Знайти:

а) зміну ентропії системи;

б) зміну термодинамічної імовірності стану (числа доступних мікростанів) системи .

12.5. Відповідно до умови попередньої задачі знайти ймовірність зворотного переходу кількості теплоти Дж від холоднішого тіла до теплішого. Розглянути також випадок, коли Дж.

12.6. Виразити через статистичний інтеграл : термічне та калоричне рівняння стану, ентальпію , потенціал Гіббса та хімічний потенціал .

Розділ 13

СТАТИСТИЧНА ТЕОРІЯ КЛАСИЧНИХ

ІДЕАЛЬНИХ СИСТЕМ

Теоретичні відомості

Розподіли Максвелла – Больцмана, Больцмана, Максвелла. Система називається ідеальною, якщо її гамільтоніан можна зобразити у вигляді

, (13.1)

де – повна енергія і-ї частинки. До ідеальних систем відносяться ідеальний газ, випромінювання, тверде тіло (у гармонічному наближенні).

Розглянемо найпростішу з таких систем – ідеальний газ у відсутності зовнішнього силового поля. Конфігураційний інтеграл Q_N у цьому випадку легко розраховується, оскільки , якщо та , якщо . При цьому зразу одержуємо

. (13.2)

Тоді з (12.27) статистичний інтеграл Z матиме вигляд

(13.3)

або з урахуванням формули Стірлінга

. (13.4)

Степеневий вигляд (13.4) дозволяє ввести статистичний інтеграл , який припадає на одну частинку:

, (13.5)

де n – число частинок в одиниці об’єму.

Розглянемо тепер ідеальний газ у деякому зовнішньому полі ; тут – набор трьох координат і-ї частинки. Тоді з канонічного розподілу (12.16) матимемо фазову щільність однієї (умовно першої) частинки:

(13.6)

або детальніше у декартових координатах

, (13.7)

де . З (13.7) можна також одержати концентрацію частинок – середню їх кількість в одиниці об’єму. Розподіл (13.6) чи (13.7) називається розподілом Максвелла-Больцмана.

Якщо проінтегрувати за імпульсами , матимемо розподіл за координатами концентрації частинок ідеального газу у зовнішньому полі:

, (13.8)

де – концентрація частинок у точках, в яких . Цей розподіл називається розподілом Больцмана.

Проінтегрувавши (13.7) за координатами , одержимо розподіл Максвелла за компонентами імпульсу

, (13.9)

який легко перетворити й у розподіл за компонентами швидкості v_х , v_у , v_z :

. (13.10)

Теорема про рівнорозподіл кінетичної енергії за ступенями вільності. Теорема про віріал.Визначення середніх значень за фазовою щільністю , як вже зазначалося, зводиться до розрахунку , що в загальному випадку є досить складною задачею. Однак внутрішню енергію (зокрема її кінетичну частину) можна вирахувати минаючи обчислення конфігураційного інтеграла. Покажемо це. Отже, позначимо через кінетичну енергію, яка припадає на і-тий ступінь вільності системи. Величину можна записати, використовуючи гамільтоніан Н усієї системи: . Знайдемо середнє значення за канонічним розподілом Гіббса. Матимемо

. (13.11)

Зобразимо багатовимірний інтеграл в (13.11) у вигляді

(13.12)

і обчислимо останній з них інтегруванням частинами, поклавши , . Одержимо

. (13.13)

Повертаючи результат (13.13) у (13.12), отримаємо

. (13.14)

Цей загальний результат класичної статистичної фізики називають теоремою про рівнорозподіл кінетичної енергії за ступенями вільності. Повна кінетична енергія матиме вигляд

, (13.15)

де ν – число ступенів вільності системи. Зазначимо, що кількість ν не обмежується лише поступальними ступенями вільності.

Аналогічний розрахунок можна провести з величиною

,

яка називається віріалом, що припадає на і-тий ступінь вльності. Однак для одержання рівності необхідно накласти обмеження на потенціальну енергію : при (чому?). Отже, результат

(13.16)

у класичній статистичній фізиці називають теоремою про віріал.

Якщо потенціальна енергія є однорідною функцією усіх своїх координат , користуючись (13.16), можна легко визначити кількісне значення величини . Дійсно, за теоремою Ейлера для однорідних функцій маємо

, (13.17)

де – степінь однорідності функції . Це зразу дозволяє отримати

. (13.18)

Тоді для повної енергії

. (13.19)

Наведені дві теореми часто використовуються для обчислень теплоємності систем.