Временное представление случайных сигналов и их вероятностные характеристики

Как отмечалось ранее, все сообщения имеют случайный характер. Следовательно, и сигналы, отображающие эти сообщения, являются случайными. Эквивалентными названиями случайного сигнала как функции времени являются: случайный процесс, стохастический процесс, вероятностный процесс.

Конкретный вид, принимаемый случайным процессом в результате опыта, называется реализацией процесса. Совокупность реализаций случайного процесса (рисунок 1.6, а), полученная в результате опытов, называется ансамблем реализаций случайного процесса .

Величина k-ой реализации случайного процесса в определенный момент времени (например, t=t₁) называется выборкой случайного процесса . Совокупность значений выборок в определенный момент времени (t=t₁) образует случайную величину .

Вероятность того, что в определенный момент t=t₁ величина Х находится в интервале между Х₁ и Х₁+dX

, (1.19)

где - одномерная плотность вероятностей или одномерная функция распределения случайного процесса X(t).

Плотность вероятности есть в общем случае функция времени и является производной от интегральной функции распределения

.

(1.20)

На рисунке 1.6, б) приведен график наиболее часто встречающегося на практике нормального закона распределения плотности вероятности случайной величины Х в определенный момент t₁.

Математическое описание этого закона имеет вид

,

(1.21)

где a и - математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х.

.

При любом законе распределения справедливо равенство

.

Одномерный закон распределения плотности вероятности является простейшей статистической характеристикой случайного процесса. Он характеризует процесс лишь в отдельные моменты времени (статически) и не дает представления о динамике его развития.

Для более полной характеристики случайного процесса необходимо знать связь между вероятными значениями случайной функции при двух произвольных моментах времени t₁ и t₂. Эта связь выражается через двумерную плотность вероятности и формулируется следующим образом: вероятность нахождения любой из функций , входящих в совокупность функций , в интервале в момент времени и в интервале в момент времени .

,

где - двумерная плотность вероятности (двумерный дифференциальный закон распределения) случайного процесса .

Рассуждая аналогичным образом можно ввести понятие о трехмерной, а также о n-мерной плотностях вероятности случайного процесса . Тогда вероятность сложного события, состоящего в том, что в момент функция находится в интервале , в момент - в интервале и т.д…., в момент - в интервале и т.д. равна

Чем больше число n, тем точнее n-мерная функция распределения характеризует случайный процесс.

Однако n-мерные функции распределения тяжело получить и сложно использовать, поэтому ищут более простые варианты для применения.

Например, если случайные величины независимы при любых произвольных , то дифференциальный и интегральный n-мерный закон распределения равны произведению одномерных соответствующих законов.

.

(1.22)

Широко используются числовые характеристики случайных процессов.