Электрическое поле точечного источника постоянного тока над двухслойной средой
Простейшей, но очень важной для практики электроразведки методом сопротивлений, одномерной прямой задачей является задача об электрическом поле и кажущемся сопротивлении на поверхности полупространства, верхнее из которых воздух, а нижнее - двухслойная горизонтально слоистая среда с мощностью верхнего слоя 
, нижнего 
, УЭС слоев 
и 
(воздух) (см. рис. 3.3).
Поставленная задача могла бы быть решена с помощью уравнения (3.2), которое при 
превращается в уравнение Лапласа 
, где 
- потенциал в любой точке М с напряженностью электрического поля 
.
 |
| Рис.. 3.3. Решение прямой задачи о поле точечного источника постоянного тока над двухслойной средой методом зеркальных отражений |
Однако ее можно быстро решить методом зеркальных отражений. Согласно правилам метода зеркальных отражений, урав-нение Лапласа и физические требования, в том числе граничные условия, выполняются, если потенциал в одномерной среде, где расположен точечный источник, принять равным сумме потенциалов этого источника ( 
) и всех его многократных отражений от границ раздела ( 
) с коэффициентами отражений, равными на границе I 
, а на границе II 
(т.к. ).
На рис. 3.3 показано, как эти источники расположены. При этом обозначено
 |
где 
.
Таким образом, искомое выражение для потенциала получает вид:
 | (3.9) |
Выражение для КС (3.1) можно записать в виде: 
, где 
- напряженность электрического поля. Но , поэтому 
. Подставив в эту формулу производную 
из (3.9), получим
 |
Откуда
 | (3.10) |
Анализируя эту формулу, можно найти асимптотические выражения 
, равные 
и 
. В самом деле, при 
, при 
 |
(т.к. , а 
равна 
как сумма членов геометрической прогрессии).
С помощью формулы (3.10), справедливой для трехэлектродной и симметричной четырехэлектродной градиент-установок, принято строить теоретические двухслойные кривые - графики зависимости 
) от 
. Они называются двухслойными теоретическими кривыми ВЭЗ (вертикальное электрическое зондирование) (см. 8.2), или двухслойной палеткой ВЭЗ (см. рис. 3.4).
 |
| Рис. 3.4. Двухслойная палетка ВЭЗ: 1 и 2 - теоретические и полевая кривые |
Более громоздкое решение получается в задаче о поле точечного источника над многослойной горизонтально слоистой средой, а еще сложнее решение для такой же среды, но при возбуждении поля дипольными гармоническими или импульсными источниками.
Одномерные прямые задачи электроразведки для многослойных горизонтально слоистых сред для любых первичных полей все-таки сводятся к аналитическим формулам для расчета КС. В результате принято строить кривые КС, аналогичные приведенным на рис. 3.4.
Двухмерные и трехмерные прямые задачи электроразведки сводятся к аналитическим формулам лишь для тел простой формы (шар, пласт, цилиндр) в однородной среде. В более общих случаях получаются лишь приближенные численные решения, получаемые с помощью ЭВМ.