Частотная характеристика оптимального фильтра

Частотная характеристика оптимального фильтра может быть найдена как прямое преобразование Фурье импульсной характеристики:

.

Таким образом, частотная характеристика оптимального фильтра с точностью до множителя К описывается сопряженным спектром принятого сигнала и множителем запаздывания exp(-iωt₀).

Поскольку спектр сигнала может быть выражен через его модуль и аргумент

,

частотная характеристика оптимального фильтра может быть представлена в виде

,

откуда следуют амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики оптимального фильтра

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) оптимального фильтра оказывается согласованной с амплитудно-частотным спектром (АЧС) принятого сигнала (рис. 5.3). Оптимальный фильтр наилучшим образом пропускает те спектральные составляющие, которые наиболее сильно выражены в спектре. Слабые спектральные составляющие подавляются, в противном случае наряду с ними пройдут интенсивные составлявшие помехи в широком диапазоне частот. Форма амплитудно-частотного спектра сигнала на выходе фильтра искажается, что является одной из причин искажения формы сигнала. Однако задачей оптимальной фильтрации является не точное воспроизведение формы сигнала, а наилучшее выделение его на фоне помехи, т.е. обеспечение наилучших характеристик обнаружения.

Рис. 5.3. Амплитудно-частотная характеристика оптимального фильтра.

Фазочастотная характеристика (ФЧХ) оптимального фильтра складывается из фазочастотного спектра (ФЧС) принятого сигнала, взятого с обратным знаком, и аргумента задержки (-ωt₀) (рис. 5.4). Чтобы убедиться в целесообразности такого выбора фазочастотной характеристики, найдем сигнальную составляющую напряжения на выво­де фильтра, зная спектр сигнала на входе

,

и определяя спектр сигнала на выходе фильтра

.

Рис. 5.4. Фазо-частотная характеристика оптимального фильтра.

Сигнал на выходе фильтра определяется обратным преобразованием Фурье от спектра:

Как видим, напряжение на выходе оптимального фильтра, являясь наложением гармонических составляющих разных частот, определяется только амплитудно-частотным спектром сигнала. Оно не зависит от фазо-частотного спектра, так как последний компенсируется фазо-частотной характеристикой фильтра. Поэтому все гармонические составляющие одновременно достигают амплитудных значений в момент t = t_r + t₀ и эти значения налагаются друг на друга (рис. 5.5).

Рис. 5.5. Наложение гармонических составляющих сигнала на выходе оптимального фильтра.

В этот момент имеет место максимум выходного сигнала

,

причем, чем шире спектр сигнала, т.е. чем больше спектральных составлявших налагается друг на друга, тем меньше длительность выходного сигнала:

В заключение уместно сделать замечание по используемой терминологии. Рассмотренный фильтр, реализующий основную операцию оптимальной обработки - вычисление корреляционного интеграла, называют оптимальным. Учитывая согласованность АЧХ в ФЧХ фильтра с АЧС и ФЧС принятого сигнала, его часто называют согласованным фильтром. Применительно к рассмотренному случаю помехи в виде белого гауссова шума термины "оптимальный" и "согласованный" фильтр являются синонимами.