Ускорение и его составляющие
В случае неравномерного движения важно знать, как быстро изменяется скорость с течением времени. Физической величиной, характеризующей быстроту изменения скорости по модулю и направлению, является ускорение.
Рассмотрим плоское движение, т. е. такое, при котором все участки траектории точки лежат в одной плоскости. Пусть вектор задает скорость точки А в момент времени t. За время Δt движущаяся точка перешла в положение В и приобрела скорость, отличную от
как по модулю, так и направлению и равную
. Перенесем вектор
в точку А и найдем Δ
(рис.1.4).
Средним ускорением неравномерного движения в интервале от t до t + Δt называется векторная величина, равная отношению изменения скорости Δк интервалу времени Δt:
.
Мгновенным ускорением а (ускорением) материальной точки в момент времени называется величина, равная первой производной скорости по времени.
. (1.6)
Размерность угловой скорости - метр за секунду в квадрате (м/с2). Разложим вектор Δ на две составляющие. Для этого из точки А (рис.1.4) по направлению скорости у отложим вектор
,по модулю равный
. Очевидно, что вектор
,равный Δ
, определяет изменение скорости по модулю за время Δt. Вторая же составляющая вектора Δ
характеризует изменение скорости за время Δt по направлению.
Тангенциальная составляющая ускорения
aτ =
, (1.7)
т.е. равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю. Найдем вторую составляющую ускорения. Допустим, что точка В достаточно близка к точке А,поэтому Δs можно считать дугой окружности некоторого радиуса r, мало отличающейся от хорды АВ. Тогда из подобия треугольников АОВ и EAD следует Δun/AB = υ1/r, но так как AB = uΔt, то
.
В пределе при Δt получим υ1
u. В этом случае угол EAD стремится к нулю, а так как треугольник EAD равнобедренный, то угол ADE между
и Δ
стремится к прямому. Следовательно, при Δt
векторы
и Δ
оказываются взаимно перпендикулярными. Так как вектор скорости направлен по касательной к траектории, то вектор
перпендикулярный вектору скорости, направлен к центру ее кривизны. Вторая составляющая ускорения, равная
an = , (1.8)
называется нормальной составляющей ускорения и направлена по нормали к траектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют также центростремительным ускорением).
Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих (рис.1.5):
=
=
.
Итак, тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории), а нормальная составляющая ускорения - быстроту изменения скорости по направлению (направлена к центру кривизны траектории).
В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения движение можно классифицировать следующим образом:
1) аτ = 0, аn = 0 — прямолинейное равномерное движение;
2) аτ = a = const, аn = 0 - прямолинейное равнопеременное движение. При таком виде движения
υ= υ0 + at,
s = υ0t + at2/2.
3) аτ = f(t), аn = 0 – прямолинейное движение с переменным ускорением;
4) aτ = 0, аn = const. При аn = 0 скорость по модулю не изменяется, а изменяется по направлению. Из формулы аn = υ2/r следует, что радиус кривизны должен быть постоянным. Следовательно движение по окружности является равномерным;
5) аτ = 0, аn ≠ 0 – равномерное криволинейное движение;
6) аτ = const, аn ≠ 0 – криволинейное равнопеременное движение;
7) aτ = f(t), аn ≠ 0 – криволинейное движение с переменным ускорением.