Основы теории формы и ширины линии излучения
Вероятность спонтанного перехода в единицу времени определяется константой A21, т.е. =A21 и в результате такого перехода испускается монохроматическое излучение с частотой
(рис.1.3а). На самом деле происходит уширение линий излучения вследствие различных физических причин, приводящих к конечной ширине энергетического уровня. С учетом этого вероятность перехода в единицу времени и в расчете на единичный интервал частот с испусканием фотона в частотном интервале от ν до ν+dν определяется формулой:
(dw21cn/dt)νdν=A21g(ν) dν (1.23)
где g(ν)-так называемая функция формы линии излучения, определяющая частотное распределение излучения (рис.1.3б).
Таким образом, возникают две задачи:
1) исходя из определенной физической модели, найти функцию g(ν);
2) найти ширину линии излучения.
При этом под шириной линии излучения понимают интервал частот ∆ν, в пределах которого интенсивность излучения (или нормированная на максимальное значение относительная интенсивность) уменьшается до половинного значения, т.е. ∆ν=ν″-ν΄ (рис.1.3, б).
Рис.1.3 (а) Линия монохроматического излучения,
(б) Спектр излучения с учетом уширения квантовых уровней.
“Естественное” уширение линии излучения
Фундаментальной причиной, приводящей к уширению линии излучения, является квантовый характер микрообъектов, подчиняющихся соотношению неопределенности Гейзенберга.
Действительно, это соотношение, записываемое в виде ∆p∆x~ħ, где ∆x и ∆p-неопределенности положения частицы и ее импульса, может быть представлено в виде ∆E ∆t~ħ, где ∆E–мера неопределенности энергии частицы, ∆t –время необходимое для проведения такого измерения.
Поскольку измерение энергии возбужденного состояния атома должно производится за время ∆t≤τсп, то из соотношения неопределенности получим: ∆E≤ħ/ τсп (1.24)
где τсп - среднее время жизни атома в данном состоянии. Так как τсп всегда конечно, то отсюда следует, что энергетические уровни имеют конечную ширину. (рис.1.4)
![]() | Рис.1.4 Энергетические уровни атомнойсистемы. |
Из рис. 1.4 имеем: ∆ν=ν”21-ν’21= =∆E/h (1.25)
Таким образом, из (1.25) и (1.24) получаем для оценки ∆ν формулу:
Dn DE/h
(1.26)
Найдем вид функции g(n), определяющей форму линии излучения.
В качестве модели излучающего атома в классической физике принимается осциллирующий диполь с радиационным затуханием, уравнение которого имеет вид: , (1.27)
где х – координата, g - коэффициент затухания, w0 – собственная частота системы. Решение (1.27) имеет вид: x=Cexp(-gt/2)exp(jw1t), (1.28)
где ( при малом g).
Спектр G(w), соответствующий колебанию x(t), находится с помощью преобразования Фурье:
. (1.29)
Отсюда спектральное распределение для интенсивности колебания
(1.30)
Обозначив w0=2pn0, w=2pn, g=2pDnл и найдя постоянную С из условия нормировки , получаем окончательно:
g(n)= (1.31)
Формула (1.31) соответствует так называемой лоренцевой форме линии излучения, что в формуле обозначено индексом «л». Из условия находим значения частот ν” и ν’. Тогда ширина линии излучения определяется соотношением:
(1.32)
Доплеровское уширение
В газах движение излучающих молекул относительно наблюдателя приводит к уширению линии за счет эффекта Доплера. Если скорость молекул равна u, то частота излучения, регистрируемая наблюдателем, рассчитывается по формуле: (1.33)
где с - скорость света, n0 - истинная частота атомного перехода (u<<c), а выбор знака зависит от того, в какую сторону движется молекула.
В газе атомы движутся с беспорядочно направленными скоростями, зависящими от температуры Т и распределенными в соответствии с законом Максвелла: , (1.34)
где - средняя тепловая скорость атомов с массой m, k - постоянная Больцмана.
Распределение частиц в газе по скоростям в результате эффекта Доплера определяет частотное распределение в излучении атомов, т.е. можно написать (1.35)
где g(n) функция формы линии излучения.
Из (1.33) и (1.35) получаем g(n)=(c/n0)p(u). Подставив вместо формулу (1.34), имеем:
, (1.36)
где DnТ=n0u0/с - доплеровский сдвиг частоты для частиц со средней тепловой скоростью. Формула (1.36) соответствует гауссовой форме линии излучения (что в формуле отмечено индексом «Г»).
Из условия определяется ширина линии излучения:
(1.37)
Проведем сравнение линий излучения гауссовой и лоренцевой форм при их одинаковой ширине. Считая ∆νл=∆νГ. из (1.31) находим максимальное значение функции (1.38)
Аналогично из (1.36) . Подставив вместо
его значение из формулы (1.37), получим:
(1.39)
На рис.1.5 построены графики лоренцевой и гауссовой линии излучения, приведенные к одинаковой ширине.
![]() | Рис.1.5. Графики гауссовой (а) и лоренцевой (б) линий излучения при ∆νл=∆νГ. |
Как видно из графика при одинаковых ширинах гауссова кривая заострена сильнее лоренцевой
1.5 Коэффициенты Эйнштейна.
Термодинамическое рассмотрение
Рассмотрим связь между коэффициентами А21, В12 и В21 используя термодинамический поход Эйнштейна. Предположим, что рассматриваемая среда помещена в полость (абсолютно черное тело) объемом V, стенки которой поддерживаются при температуре Т (термостат). Как только система достигает термодинамического равновесия, в ней установится излучение, спектральная объемная плотность которого определяется формулой Планка:
(1.40)
где множитель определяет число типов колебаний в единице объема излучающей полости, а величина
дает среднюю энергию, приходящуюся на один тип колебаний.
Предположим, что квантовый ансамбль, находящийся в полости, является двухуровневой системой (рис.1.6). В такой квантовой системе, наряду со спонтанным излучением, будут происходить процессы вынужденного излучения и поглощения
![]() | Рис.1.6 Схема квантовых переходов в двухуровневой квантовой системе. |
Количество переходов 2→1 в единицу времени составляет величину (А21+ρνВ21)N2, а количество обратных переходов 1→2 равно ρν В12 N1.
Поскольку система в целом пребывает в состоянии термодинамического равновесия, число переходов с уровня 1 на уровень 2 должно уравновешивать число переходов с уровня 2 на уровень 1, т.е.:
(1.41)
Кроме того, согласно статистике Больцмана:
(1.42)
Из этих двух выражений получаем: (1.43)
Эйнштейн далее постулировал, что излучение, испускаемое или поглощаемое атомами при переходах между рассматриваемыми энергетическими состояниями, должно также подчиняться закону излучения Планка (1.40), так как атомы в рассматриваемой полости находятся в тепловом равновесии с окружающей средой.
Для согласования с формулой Планка необходимо выполнение следующих двух условий (при ν=ν21): B12=B21=B (1.44)
(1.45)
Из формулы (1.44) следует, что вероятности поглощения и вынужденного излучения, связанные с излучением абсолютного черного тела, равны друг другу: W12=W21 (1.44a)
Соотношение (1.45) позволяет вычислить коэффициент А21, если известен коэффициент В вынужденного излучения в поле излучения черного тела.
Таким образом, полная вероятность излучательных переходов в единицу времени равна:
(1.46)
Из формул W12=s12F, W21 =s21F, такжеследует, что s12=s21 (1.44б)
Таким образом, термодинамическое рассмотрение показывает равновероятность индуцированных излучения и поглощения и устанавливает количественную связь между коэффициентами Эйнштейна.
Квантомеханическое рассмотрение задачи о вычислении вероятности квантового перехода дает следующее значение для W21:
, (1.47)
где - матричный дипольный момент атома.
Сравнивая (1.47) с формулой Эйнштейна для вероятности перехода W21=rnB21 получим формулу, связывающую коэффициенты Эйнштейна с атомными характеристиками квантового ансамбля: (1.48)