Лекция 12. Ядерные реакции на нейтронах

12.1. Основные типы реакций. Примеры. Ядерные реакции на нейтронах многочисленны и разнообразны. Причиной этого является отсутствие потенциального барьера для нейтронов, в результате чего последние свободно проникают в любые ядра вплоть до самых тяжелых. Так как при этом каждый нейтрон приносит в ядро энергию, равную сумме его кинетической энергии и энергии связи, образующееся при захвате составное ядро (п. 11.5) оказывается сильно возбужденным и «разряжается», испытывая то или иное превращение.

Известно множество реакций следующих типов: (n, γ), (n, p), (n, α), (n,2n) и др. Кроме перечисленных типов имеется еще один и притом наиболее важный: деление ядра (n, f). Этот процесс ввиду его особого практического значения будет рассматриваться в отдельной лекции.

Простейшим примером реакции радиационного захвата (n, γ) может служить захват нейтрона ядром водорода с образованием дейтерия: ¹H(n, γ)D. Сечение этой реакции для нейтронов малых энергий – около 0,333 б,[99] а ее энергия равна энергии связи дейтрона: 2,22 МэВ. Сечение захвата нейтрона дейтроном примерно на три порядка меньше. Однако некоторые ядра, напротив, имеют очень большие сечения захвата медленных нейтронов: порядка нескольких тысяч барн.

Реакции вида (n, p) в случае медленных нейтронов, как правило, не идут вследствие того, что протону для выхода из составного ядра необходимо иметь энергию, равную сумме энергии его связи с ядром и энергии, необходимой для преодоления кулоновского потенциального барьера. Имеются два важных исключения среди легких элементов – это реакции ¹⁴N(n, p)¹⁴C и ³⁵Cl(n, p)³⁵S. Обе реакции ведут к образованию β^–-радиоактивных нуклидов, так как в обоих случаях при сохранении массового числа в стабильных изобарах один протон заменяется нейтроном. Продукты той и другой реакции имеют практическое значение: они применяются в химии и биологии в качестве радиоактивных меченых атомов при изучении механизмов химических и биохимических процессов.

При достаточно большой энергии нейтронов реакции (n, p) более вероятны. Реакция нейтронов космического происхождения с ядрами ¹⁴N в верхних слоях атмосферы является источником природного радиоуглерода (п. 6.4).

Реакции (n, α), как и реакции (n, p), на медленных нейтронах могут идти только с участием легких ядер, так как кулоновский потенциальный барьер для вылета α-частицы в два раза выше, чем для протона. Важным с точки зрения практики примером реакции (n, α) на медленных нейтронах является ¹⁰B(n, α)⁷Li. Эта реакция имеет большое сечение: для нейтронов с энергией 0,025 эВ σ ≈ 3800 б. Вследствие большой величины Q (3,6 МэВ) α-частица испускается с энергией 2,3 МэВ и поэтому легко обнаруживается детекторами заряженных частиц. Таким образом, данная реакция используется для детектирования медленных нейтронов.

При достаточно большой энергии нейтронов запас энергии, остающийся у составного ядра после вылета одного нейтрона, иногда оказывается достаточным для вылета второго. В таком случае реакция может завершиться испусканием двух, трех, и т.д. нейтронов. Нетрудно установить, что все процессы такого типа – эндотермические. Пороговая энергия для реакции ⁹Be(n,2n)⁸Be равна 1,8 МэВ, а для реакции ⁵⁶Fe(n,2n)⁵⁵Fe – уже около 11,5 МэВ; она растет с увеличением удельной энергии связи. Реакции (n,2n), (n,3n) и т.д. получили название реакций испарения нейтронов, по аналогии с испарением молекул с поверхности капли жидкости при ее нагревании. В ходе реакций испарения нейтронов происходит их размножение: взамен одного поглощенного испускается два (три, четыре…). Распределение этих нейтронов по энергиям напоминает распределение Максвелла-Больцмана для молекул газа, что еще больше усиливает аналогию между составным ядром и каплей жидкости.

12.2. Функции возбуждения. Сечение образования составного ядра в нерезонансной области.Рассмотрим теперь, каким образом сечения реакций на нейтронах могут зависеть от их энергии, т.е. попытаемся установить характерный вид функций возбуждения. Очевидно, что для всех реакций A(n, b)B, проходящих по механизму составного ядра, образование последнего будет являться общей стадией при фиксированном входном канале.

Чтобы получить простейшее выражение для сечения образования составного ядра σ_{(n, C*)}, будем полагать, что его энергетические уровни образуют непрерывный спектр. Тогда вероятность образования составного ядра можно рассматривать как произведение вероятностей двух независимых последовательных событий: а) попадания нейтрона в область действия ядерных сил (сечение этого процесса обозначим как σ₀) и б) проникновения нейтрона внутрь ядра (с вероятностью D).

Ядерные силы короткодействующие и отличны от нуля только в области самого ядра, имеющего радиус R. Размеры самого нейтрона определяются его длиной волны де Бройля . Следовательно, сечение σ₀ будет равно

. (12.1)

Зависимость потенциала, в котором движется нейтрон, от расстояния между ним и центром ядра показана на рис. 12.1. Потенциал представляет собой, по существу, прямоугольную ступеньку. При падении (справа) плоской нейтронной волны на ядро на границе r = R возникает отраженная волна. Определим коэффициент прохождения волны через границу. Волновые функции при r > R и r < R равны

, (12.2)

, (12.3)

соответственно, причем волновые числа нейтрона

, .

Второе слагаемое в (12.2) представляет отраженную волну. Коэффициент отражения будет тогда равен P = a², а коэффициент прохождения D = 1 – a². «Сшивая» волновые функции и при r = R, т.е. приравнивая значения функций и их первых производных, получим, что a = (k₁ – k₂)/(k₁ + k₂), откуда

.

Таким образом, сечение образования нейтроном составного ядра

. (12.4)

Анализ формулы (12.4) проведем для двух предельных случаев.

1) Кинетическая энергия нейтрона T >> V (быстрые нейтроны). В этом случае k₁ ≈ k₂, а длина волны << R. Тогда

, (12.5)

т.е. сечение совпадает с геометрическим сечением ядра.

2) T << V (медленные нейтроны). k₁ << k₂, а >> R, откуда следует, что

. (12.6)

Так как пропорционален скорости нейтрона v, то соотношение (12.6), справедливое в длинноволновой области, носит название закона 1/v (рис. 12.2). Качественно его легко объяснить, руководствуясь простыми соображениями: при уменьшении скорости нейтрона увеличивается время его взаимодействия с ядром, а это, в свою очередь, увеличивает вероятность захвата.

Сравнивая полученные результаты с рис. 12.2, на котором представлена типичная функция возбуждения для реакции на нейтронах, можно заметить, что формула (12.4) описывает экспериментальные зависимости именно в предельных случаях очень быстрых и очень медленных нейтронов. В промежуточной области функция возбуждения имеет множество нерегулярных «всплесков», называемых резонансными максимумами. Их происхождение будет рассматриваться ниже.

12.3. Резонансные максимумы. Понять условие возникновения резонансных максимумов при захвате нейтрона поможет следующее рассуждение. Пусть мы имеем медленный нейтрон, соударяющийся с ядром. Волновая функция нейтрона отлична от нуля как вне, так и внутри ядра (рис. 12.1). Длина волны такого нейтрона вне ядра достаточно велика, а волновое число k₁ мало. Внутри же ядра волновое число нейтрона k₂ велико даже в том случае, когда его кинетическая энергия вне ядра близка к нулю, поскольку он приносит в ядро свою энергию связи (~ 8 МэВ). Так как волновая функция и ее первая производная должны быть непрерывны на границе ядра, то обе волны – длинная и короткая – должны смыкаться непрерывно и гладко. Вообще говоря, это возможно только в том случае, когда амплитуда волны ψ₂ внутри ядра очень мала по сравнению с амплитудой волны ψ₁ вне ядра. Иными словами, при произвольной энергии нейтрона вероятность его захвата ядром, как правило, мала. Имеется, однако, исключительный случай, когда обе волны смыкаются непрерывно и гладко при одинаковой амплитуде внутри и вне ядра. Это случай, когда производная волновой функции ψ₂ обращается в нуль на его границе (рис. 12.3). Но такое условие может выполняться лишь при строго определенных значениях энергии нейтрона, так как внутренняя волновая функция может иметь экстремум на поверхности ядра только при определенном соотношении между длиной волны нейтрона и радиусом ядра R. Таким образом, решение задачи о коэффициенте прохождения должно быть пересмотрено с учетом фактических размеров ядра.

Для нейтрона, летящего на центр ядра (L = 0), последнее можно представить как одномерную потенциальную яму глубиной V и протяженностью 2R. Как показано в ПРИЛОЖЕНИИ Ж, описанное выше согласование фаз внешней и внутренней волн имеет место, когда на расстоянии 2R укладывается целое число длин полуволн нейтрона внутри ядра. Состояния, отвечающие данному условию, называют одночастичными резонансами s-типа. На рис. 12.4 представлена зависимость коэффициента прохождения нейтрона от его кинетической энергии, рассчитанная по формуле (Ж.10). Параметры потенциальной ямы (V = 50 МэВ, R = 8 фм) соответствуют достаточно тяжелому ядру. Можно видеть, что увеличение кинетической энергии нейтрона от нуля до 50 МэВ приводит к образованию всего четырех очень широких резонансов, что, вообще говоря, не согласуется с экспериментальными результатами. Так, например, сечение взаимодействия медленных нейтронов с ядрами ²³⁸U имеет более сотни резонансных максимумов в области от 0 до 4 кэВ. При этом ширины линий оказываются в пределах от 0,03 эВ до нескольких эВ, увеличиваясь с ростом энергии нейтрона. Интервалы между максимумами значительно больше ширин линий.

Причина несоответствия заключается в том, что резонансы составного ядра нельзя рассматривать как одночастичные. Действительно, среднее время жизни одночастичного резонанса фактически равно времени пролета нейтрона с кинетической энергией Т через область ядра. С другой стороны, для любого возбужденного состояния среднее время его жизни τ связано с шириной уровня Г:

(12.7)

(см. п. 9.5). Для нейтрона с энергией 1 МэВ время пролета через ядро

– порядка 10^–21 с, что дает ширину уровня Г ≈ T = 1 МэВ. С ростом энергии нейтрона уменьшается его время пролета, в результате чего увеличивается ширина уровня. Все эти закономерности хорошо видны на рис. 12.3.

Наблюдаемые экспериментально ширины резонансов в 10⁵-10⁷ раз меньше и соответствуют временам жизни 10^–16–10^–14 с. Но это как раз и есть среднее время жизни составного ядра (см. оценку в п. 11.5), в котором нейтрон делит свою энергию между коллективом нуклонов. Таким образом, составное ядро можно рассматривать как почти стационарное (квазистационарное) возбужденное состояние ядра, в котором все нуклоны длительное время пребывают в ограниченной области пространства, т.е. совершают финитное движение.

Резонансные уровни составного ядра невозможно правильно описать, если воздействие ядра-мишени на нейтрон заменить некоторым средним потенциалом: это уже далеко не те возбужденные состояния колебательного и вращательного типа, в которых движение нуклонов упорядочено (п. 4.5). Для составного ядра характерно неупорядоченное движение нуклонов и флуктуации (т.е. случайные отклонения от среднего значения) энергии каждого из них. Тем не менее, природа резонансных максимумов становится вполне понятной из приведенного примера. Резонансные энергии соответствуют уровням возбужденного ядра, нестабильного относительно распада, в том числе – с испусканием нейтрона. Отметим, что аналогичная ситуация имеет место и при резонансном поглощении фотонов.

12.4. Сечение в резонансной области. Формулы Брейта-Вигнера. Как следует из вышесказанного, спектр составного ядра состоит из набора полос конечной ширины.[100] Рассмотрим случай, когда суммарная энергия нейтрона и исходного ядра Е ≈ Е_n. Тогда вероятность образования составного ядра будет особенно высока (из-за отсутствия отражения), и сечение реакции проходит через максимум при Е = Е_n. В этом случае ядерная реакция называется резонансной.

Как уже отмечалось в п. 11.5, каждый из возможных путей распада составного ядра осуществляется со своей определенной вероятностью. Тогда, в соответствии с (11.11) полная ширина уровня равна сумме частичных ширин Г_b = Г_n∙w_b, т.е.

, (12.8)

т.е. сумме по всем возможным каналам распада составного ядра (упругое рассеяние, радиационный захват,[101] вылет протона или α-частицы, деление и т.д.). Оставив для начала в стороне вылет заряженных частиц, будем рассматривать два конкурирующих процесса: упругое рассеяние и радиационный захват. Тогда

. (12.9)

Уже из качественных статистических соображений следует, что относительные величины слагаемых в (12.9) должны зависеть от кинетической энергии нейтрона. Если эта энергия велика (несколько МэВ), то составное ядро при захвате нейтрона получит большой избыток энергии. В этом случае энергия, которая должна сконцентрироваться на частице для ее вылета, будет составлять небольшую долю всей энергии возбуждения, и вероятность такой флуктуации достаточно велика. Напротив, потеря энергии сильно возбужденным ядром путем испускания γ-кванта есть процесс маловероятный.[102] Поэтому при большой энергии нейтрона Г_(n,n) > Г_{(n, γ)}.

В случае медленного нейтрона последний приносит в ядро только энергию, равную энергию его связи. Вероятность того, чтобы при таких условиях на одной частице путем флуктуаций сконцентрировалась энергия, достаточная для ее вылета, будет до крайности мала. Поэтому для реакций на медленных нейтронах Г_(n,γ) > Г_{(n, n)}. [103]

Сечение реакции в резонансной области легче всего поддается анализу, если резонансные энергии отстоят далеко друг от друга по шкале энергии (| Е_n – E_m | >> Г_n, Г_m), так что каждый уровень можно считать одиночным (рис. 12.5). Г. Брейт и Ю. Вигнер получили формулы,[104] связывающие сечения радиационного захвата и рассеяния с ширинами резонансных максимумов. Если длина волны нейтрона велика по сравнению с радиусом ядра,[105] то сечение радиационного захвата

, (12.10)

где J_A и J_С – спины исходного и составного ядер соответственно. Для сечения упругого рассеяния формула такова:

. (12.11)

Итак, в области одиночного резонанса функция возбуждения описывается кривой Лоренца (рис. 12.2), повторяя форму резонанса в механике или оптике. Существенно то, что сечение резонансного захвата нейтрона часто во много раз превосходит геометрическое сечение ядра, в чем нетрудно убедиться простым подсчетом. Так, например, при Т = 1 эВ длина волны де Бройля нейтрона – около 4·10^–12 м. Если считать, что Г_(n,γ) = Г_(n,n) = Г_n/2, и для простоты пренебречь спиновым множителем (порядка единицы), то в соответствии с (12.10) сечение радиационного захвата будет иметь порядок 10⁵ б, между тем как геометрическое сечение даже самых тяжелых ядер – не более 3 б.

Отметим, что в резонансной области существует два механизма упругого рассеяния нейтронов. Первый из них – резонансное рассеяние, т.е. рассеяние, при котором промежуточной стадией является образование составного ядра. Второй – т.н. потенциальное рассеяние, которое происходит во всей энергетической области и обусловлено взаимодействием нейтронной волны с потенциалом на поверхности ядра. В этом случае нейтрон не попадает внутрь мишени и составное ядро не образуется. Пренебрегая влиянием спинов ядер, можно записать сечение рассеяния нейтронов как

, (12.12)

где первый член – это сечение резонансного, второй – сечение потенциального рассеяния, а третий появляется в результате интерференции между резонансным и потенциальным рассеянием. Из-за этого на кривых σ(Т) при T < E_n наблюдается «провал» (деструктивная интерференция). Как показывает эксперимент, такую форму имеют многие резонансные максимумы (рис. 12.2).

С увеличением энергии нейтронов квазистационарные уровни составного ядра располагаются все ближе и ближе друг к другу, что объясняется ростом числа различных способов распределения энергии между нуклонами. В итоге расстояние между резонансными максимумами быстро уменьшается с ростом массового числа и энергии возбуждения ядра. Для тяжелых ядер это происходит уже при Т_n ≈ 1-10 кэВ. При более высоких энергиях возбуждения плотность уровней энергии становится столь высокой, что они, перекрываясь, образуют непрерывный спектр. В этом случае процесс образования составного ядра имеет нерезонансный характер, и к его анализу применим подход, описанный в п. 12.2.

12.5. Классификация нейтронов. В заключение лекции приведем принятую в физике классификацию нейтронов в соответствии с их кинетической энергией (табл. 12.1). Принадлежностью нейтронов к той или иной группе определяется вид их взаимодействия с ядрами среды (следует, однако, учитывать, что границы энергетических интервалов носят условный характер и перекрываются).

Таблица 12.1.

Характеристики нейтронов различных энергий

Группа	Энергия, эВ	Примечание
Ультрахолодные	< 10–7	Кинетическая энергия соответствует температуре < 0,001 К.
Холодные	10–7-10–2
Тепловые	0,01-0,1	Кинетическая энергия равна энергии теплового движения при умеренных температурах. Длина волны сравнима с размерами атома.
Резонансные	0,1-50	Сечения взаимодействия с ядрами имеют острые максимумы.
Медленные	50-500
Промежуточные	500-105
Быстрые	105-107
Больших энергий	107-109	Кинетическая энергия становится сравнимой с энергией покоя.
Релятивистские	> 109	Скорость практически равна скорости света.