Общие свойства реактивных двухполюсников

Двухполюсником можно назвать любую электрическую цепь, взаимодействующую с внешней по отношению к ней схемой посредством двух зажимов. При этом свойства двухполюсников определяют характеристики всей цепи.

Двухполюсник, как и любая линейная электрическая цепь, может быть как активным, так и пассивным. Пассивным он является в том случае, если энергия, отданная им во внешнюю цепь, ни при каких условиях не превышает той, что была подведена к нему за все предшествующее время.

По количеству элементов, составляющих схему двухполюсника, они подразделяются на одноэлементные, двухэлементные (RL-, RC- и LC-двухполюсники), трехэлементные (RLC-двухполюсники) и т. д.

Двухполюсники, схемы которых включают резистивные сопротивления, называются диссипативными. В них происходит потеря подводимой энергии за счет превращения ее в тепловую с дальнейшим рассеянием этой энергии в пространстве.

Двухполюсники, схемы которых состоят только лишь из реактивных элементов (индуктивностей и емкостей), носят название реактивных двухполюсников.

Любой двухполюсник может быть охарактеризован своей входной функцией , которая представляет собой либо входное сопротивление , либо входную проводимость .

Наиболее распространенными на практике являются реактивные LC-двухполюсники. В связи с этим основное внимание сосредоточено на свойствах двухполюсников именно этого вида.

К простейшим реактивным двухполюсникам можно отнести катушку индуктивности и конденсатор. Их сопротивления соответственно есть и . Графически зависимость обоих сопротивлений от частоты изображена на рис. 2.1.

Рис. 2.1. Частотная зависимость входного сопротивления: а – для индуктивного элемента; б – для емкостного элемента

Частоты, на которых величина сопротивления двухполюсника становится равной нулю, называются нулями входной функции двухполюсника. Частоты, на которых оно стремится к бесконечности – полюсами входной функции двухполюсника. Как видно рис. 2.1, нуль сопротивления расположен в начале координат, т. е. на нулевой частоте, полюс этой функции находится на бесконечности. Для функции входного сопротивления все наоборот: полюс расположен в начале координат, а нуль – на бесконечности.

К простейшим LC-двухполюсникам можно отнести также последовательный и параллельный колебательный контур. Зависимости их сопротивлений от частоты представлены на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Частотная зависимость входного сопротивления: а – для последовательного контура; б – для параллельного контура

Здесь ,

где – частота резонанса напряжений последовательного колебательного контура;

,

где – частота резонанса токов параллельного контура.

Независимо от степени сложности схемы двухполюсников можно указать ряд закономерностей, характеризующих их общие свойства:

1) число резонансных частот любого реактивного двухполюсника на единицу меньше общего числа реактивных элементов в его схеме;

2) частоты резонансов напряжений и токов реактивного двухполюсника чередуются: между любыми двумя резонансами напряжений имеется один резонанс токов, и между любыми двумя резонансами токов находится резонанс напряжений;

3) при резонансе напряжений характер реактивности двухполюсника меняется с емкостного на индуктивный, а при резонансе токов – с индуктивного на емкостной. У многоэлементных реактивных двухполюсников характер реактивности контура изменяется с ростом частоты не один раз;

4) при возрастании частоты реактивное сопротивление двухполюсника в точках непрерывности возрастает (с учетом знака реактивного сопротивления);

5) если в схеме двухполюсника есть путь для прохождения постоянного тока, то первым наступает резонанс токов, а если такого пути нет, первым наступает резонанс напряжений;

6) зависимость сопротивления любого реактивного двухполюсника от частоты можно представить формулой Фостера:

, (2.1)

где m – число резонансов напряжений; n – число резонансов токов.

Степень множителя выбирается по условию: если первым наступает резонанс напряжений, то данный множитель должен стоять в знаменателе, т. е. показатель степени есть –1.

В числителе формулы Фостера стоит произведение разностей квадратов текущей частоты и частот резонансов напряжений. Следовательно, число сомножителей в числителе дроби определяется количеством резонансов напряжений m в схеме двухполюсника. В знаменателе данной дроби стоит произведение разностей квадратов текущей частоты и частот резонансов токов. Значит, число сомножителей в этой части формулы определяется количеством резонансов токов n.

Для нахождения коэффициента необходимо установить характер реактивности сопротивления двухполюсника (индуктивный или емкостный) на частотах, превышающих наибольшую резонансную частоту.
Если оно имеет емкостный характер, в схеме двухполюсника следует разомкнуть все ветви, содержащие индуктивности, и определить эквивалентную емкость полученной схемы, а затем приравнять . Если же сопротивление носит индуктивный характер, все емкости в схеме двухполюсника закорачиваются, и подсчитывается эквивалентная индуктивность образованной схемы. В этом случае .

Знак «+» или «–» перед формулой (2.1) зависит от характера реактивности сопротивления двухполюсника в диапазоне частот от нуля до первого резонанса и от общего количества сомножителей в числителе и знаменателе дроби. Этот знак нетрудно установить, подставив произвольно выбранное значение текущей частоты из данного диапазона в формулу и определив тем самым знак дроби. При этом, если сопротивление имеет емкостный характер реактивности, а дробь отрицательна, то выбирается знак «+». В противном случае – знак «–». В случае индуктивного характера сопротивления отрицательное значение дроби предполагает знак «–», а положительное значение – знак «+».

Значения резонансных частот определяются следующим образом.

Для конкретной схемы двухполюсника составляется формула зависимости входного сопротивления от частоты в виде одной дроби. Тогда, приравняв числитель полученной дроби к нулю, можно найти частоты резонансов напряжений в схеме двухполюсника. Если же приравнять нулю знаменатель полученной дроби, можно определить частоты резонансов токов. Поясним сказанное на простом примере.

Пусть требуется определить резонансные частоты двухполюсника (рис. 2.3). Составим формулу входного сопротивления представленного двухполюсника:

.-

Приравняв числитель полученной дроби к нулю, находим частоты резонанса напряжений

, следовательно, .

Полученное решение показывает, что в данном двухполюснике имеется только лишь один резонанс напряжений.

Находим частоты резонансов токов:

, следовательно, .

То есть в данной схеме двухполюсника возможен лишь один резонанс токов;

7) в зависимости от характера реактивности входного сопротивления при частотах вблизи нуля и на бесконечности ( и ) все двухполюсники подразделяют на 4 класса. Каждому классу соответствует конкретный вид зависимости сопротивления от частоты. Вид этих зависимостей представлен на рис. 2.4 –2.7.

Для двухполюсников 1-го класса (рис. 2.4) при входное сопротивление имеет емкостный характер, а при – индуктивный.

Для двухполюсников 2-го класса (рис. 2.5) при входное сопротивление носит индуктивный характер, а при – емкостный.

Рис. 2.4. Зависимость входного сопротивления двухполюсника 1-го класса от частоты

Рис. 2.5. Зависимость входного сопротивления двухполюсника 2-го класса от частоты

Для двухполюсников 3-го класса (рис. 2.6) и при , и при входное сопротивление имеет емкостный характер.

Для двухполюсников 4-го класса (рис. 2.7) и при , и при входное сопротивление имеет индуктивный характер.

Рис. 2.6. Зависимость входного сопротивления двухполюсника 3-го класса от частоты

Рис. 2.7. Зависимость входного сопротивления двухполюсника 4-го класса от частоты

Каждому из четырех видов частотной зависимости соответствуют определенные канонические схемы двухполюсников. При этом под канонической понимают такую схему, в которой число индуктивных и емкостных элементов либо одинаково, либо отличается на единицу. Кроме того, схема, представленная в каноническом виде, дальнейшим эквивалентным преобразованиям не подлежит, т. е. это самый простой вид схемы двухполюсника, построенной на минимальном количестве реактивных элементов.

Так, частотная зависимость (см. рис. 2.4) характерна для схем двухполюсников (рис. 2.8, а, б). Канонические схемы двухполюсников 2-го класса представлены на рис. 2.8, в, г. Им соответствует частотная характеристика (см. рис. 2.5). Характеристика (см. рис. 2.6), формируется двухполюсниками, канонические схемы которых изображены на рис. 2.8, д, е. И, наконец, для двухполюсников 4-го класса канонические схемы выглядят так, как это показано на рис. 2.8, ж, и. Им соответствует частотная характеристика, представленная на рис. 2.7.

а	б
в	г
д	е
ж	и

Рис. 2.8. Канонические схемы двухполюсников

Схема любого реактивного двухполюсника может быть приведена к одной из четырех канонических форм путем эквивалентных преобразований, к числу которых можно отнести переходы:

– от звезды сопротивлений к треугольнику сопротивлений и наоборот;

– параллельно-последовательного соединения ветвей схемы к параллельному соединению с последующим упрощением схемы;

– параллельного соединения ветвей схемы к параллельно-после­до­вательному соединению также с последующим упрощением схемы.

В каждом случае эквивалентный переход от одной схемы двухполюсника к другой должен осуществляться по конкретным правилам (формулам), позволяющим определить сопротивления новой эквивалентной схемы.

22.Связанные колебательные контуры. Схемы с внешней и внутренней связью

СВЯЗАННЫЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ КОНТУРЫ

Последовательный и параллельный контуры являются одиночными колебательными системами.

Рис.1 - Схемы емкосной связи: а) внешняя емкосная связь, б) внутрення емкосная связь В схеме с внутренней емкостной связью (рис.1 б) напряжение, которое получается на конденсаторе Ссв при прохождении через него тока I1, действует на цепь вторичного контура C2L2 и создает в последнем ток I2. Иначе можно сказать, что в точке 1 (или 2) происходит (разветвление тока и часть его идет во вторичный контур. В противоположность схеме (рис.1 а) здесь для увеличения связи нужно уменьшить емкость Ссв. Тогда сопротивление конденсатора Ссв току I1 возрастет, увеличится падение напряжения в нем, а так как оно действует во вторичном контуре, то возрастет и ток I2. Для осуществления слабой связи в данной схеме берут Ссв порядка тысяч и даже десятков тысяч пикофарад (много больше, чем С1 и С2).
В радиоаппаратуре колебательный контур обычно связан с другими цепями, в которые передается часть энергии, поступающей в контур от внешнего источника. Часто цепь, связанная с контуром, является также колебательным контуром. Контур, колебания в котором возбуждаются внешним источником, в дальнейшем мы будем называть первичным, а тот, в который передается часть энергии из первичного контура, - вторичным.
Рис. 3-1. Индуктивно связанные контуры.
Контуры могут быть связаны между собой различным образом. Например, если катушки контуров расположить близко одну от другой (рис. 3-1), то часть переменного магнитного потока, создаваемого током в катушке первичного контура, будет пронизывать витки катушки вторичного контура и наводить в ней переменную э.д.с., величину которой можно определить по закону электромагнитной индукции:
(3-1)
где: - поток связи, т.е. общий магнитный поток (мгновенное значение), пронизывающий обе катушки; w2 - число витков в катушке вторичного контура. Общий магнитный поток, связывающий катушки, пропорционален величине тока в катушке первичного контура. Если ток изменяется по синусоидальному закону, то
где M - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом взаимной индукции. Наведенная в катушке вторичного контура э.д.с. пропорциональна скорости изменения потока, поэтому в соответствии с выражением (2-4)
Амплитуда наведенной э.д.с.
(3-2)
Величина имеет размерность сопротивления и называется сопротивлением связи:
(3-3)
С увеличением коэффициента взаимной индукции и, следовательно, сопротивления связи э.д.с., наводимая во втором контуре, возрастает. Под действием наведенной э.д.с. во вторичном контуре проходит ток I2. Этот ток, проходя через катушку L2, создает переменный магнитный поток, часть которого пронизывает витки катушки первичного контура и наводит в ней в свою очередь некоторую э.д.с. Если во вторичном контуре ток сдвинут по фазе относительно наведенной э.д.с. на угол , т.е.
то э.д.с., наведенная в первичном контуре,
Таким образом, оказывается, что система из двух одинаковых, достаточно сильно связанных контуров обладает тремя резонансными частотами, одна из которых является частотой их собственных колебаний, другая несколько ниже, а третья выше нее. Две последние резонансные частоты называют также частотами связи. Чем больше связь между контурами, тем больше реактивное сопротивление, вносимое из вторичного контура в первичный. Поэтому компенсация реактивных сопротивлений происходит при большей расстройке первичного контура, и, следовательно, частоты связи больше отличаются от частоты собственных колебаний контуров.
Рис. 3-6. Резонансные характеристики связанных контуров при различной степени связи.
При связи, меньшей некоторого значения, называемого "критическим", вносимых реактивных сопротивлений не хватает для компенсации собственных реактивных сопротивлений контуров и резонанс имеет место только на частоте собственных колебаний контуров. Поэтому при связи меньше критической (кривая 1 на рис. 3-6) резонансная характеристика напоминает характеристику одиночного контура. При связи больше критической резонансная характеристика приобретает вид двугорбой кривой, максимумы которой соответствуют частотам связи и (кривая 2). При более сильной связи частоты связи и расположены еще дальше друг от друга (кривая 3).
Рис. 3-9. Различные виды связанных контуров.
На рис.3-9,а изображены контуры с автотрансформаторной связью. Здесь часть напряжения с катушки L1, создающаяся на какой-то ее части Lсв, подается во вторичный контур, возбуждая в нем электрические колебания. На рис.3-9,б контуры связаны с помощью конденсатора Cсв, включенного в общую цепь обоих контуров (внутренняя связь). Для тока первичного контура создаются две параллельные ветви: конденсатор связи Cсв в одной и элементы L2, C2, r2 в другой. Чем больше сопротивление конденсатора связи, т.е. чем меньше его емкость, тем большая доля тока первичного контура ответвляется в цепь вторичного и, значит, тем больше связь. Второй вариант емкостной связи (внешняя связь) между контурами показан на рис.3-9,е. В этом случае во вторичном контуре протекает тем больший ток, чем меньше сопротивление конденсатора связи, т.е. чем больше его емкость. На рис.3-9,г представлена схема с кондуктивной связью между контурами, где общим элементом в цепях обоих контуров является активное сопротивление Rсв. Почти во всех этих схемах элементом связи служит общий элемент, входящий в цепи обоих контуров. Напряжение, подаваемое во вторичный контур, равно произведению сопротивления этого элемента на протекающий в нем ток. Исключение составляет схема на рис.3-9,в, в которой элементом связи является конденсатор, связывающий цепи обоих контуров.

Рис. 24. Виды связи.

Связь между колебательными контурами может быть осуществлена многими способами, например через взаимодействие внешних магнитных полей катушек самоиндукции, через общий участок емкостной цепи, через общую для двух контуров часть соединительных проводов, обладающую заметным омическим сопротивлением, и т. д.

На рис. 24 показаны некоторые распространенные виды связи двух колебательных контуров, где а — индуктивная, или трансформаторная связь, б — автотрансформаторная связь, в — гальваническая связь (называемая также реостатной), г — емкостная связь через внутреннюю емкость С_св и д — емкостная связь через внешние конденсаторы связи С_св.

Во всех случаях этих связей количественное значение коэффициента связи К определяют как отношение общего для обоих контуров параметра связи к среднему геометрическому из частных параметров того же вида обоих контуров, определяющих связи. Так, для случая а

где М — коэффициент взаимоиндукции между катушками L₁ и L₂, для случая б

а для случая г после необходимых преобразований коэффициент связи определяется следующим образом:

Нетрудно видеть, что при общем способе составления формул, определяющих коэффициенты связи, их окончательные выражения для разных способов связи могут иметь различный вид.

В практике почти всегда бывает так, что связь между колебательными системами осуществляется не по одному, а по нескольким параметрам сразу, т. е. преобладают случаи комбинированной связи. Так, например, в случае а при близком расположении обоих контуров, несомненно, будет иметь место также и некоторое емкостное влияние элементов контура L₁C₁ на контур L₂C₂, причем эта дополнительная связь в зависимости от взаимного направления витков катушек L₁и L₂ будет или помогать, или противодействовать индуктивной связи. В таких случаях теоретический расчет точных значений К весьма затруднен и не производится, так же как не производятся расчеты емкости какого-нибудь проводника сложной конфигурации, хотя для некоторых элементарных форм проводников (шара, цилиндра и др.) такие теоретические расчеты делаются.