Энергия, масса и импульс фотона. Давление света

Фотоэффект показывает, что электромагнитное излучение способно вести себя как частица – фотон. При поглощении, испускании или взаимодействии фотона с любыми частицами можно использовать те же законы сохранения энергии и импульса, что и при взаимодействии тел. Однако фотон в любой среде движется со скоростью света (с = 3*10⁸ м/с) и поэтому законы сохранения надо писать в релятивистской форме.

Рассмотрим некоторые особенности частицы-фотона. При скорости частицы равной скорости света знаменатель выражения:

(2.4)

для релятивистской энергии обращается в нуль, а энергия становится бесконечно большой, что физически не имеет смысла.

Чтобы энергия была конечной, математически следует, что числитель дроби так же должен быть в этом случае равен нулю. Из этого вытекает, что частицы, которые двигаются со скоростью света, должны не иметь массы. С другой стороны, фотон как не имеющая массы частица, может двигаться только со скоростью света. В противном случае фотон должен погибнуть. Итак, говорить о фотоне, находящемся в состоянии покоя нет смысла!

При рассмотрении теплового излучения и фотоэффекта полагалось, что свет излучается и поглощается порциями. Однако это не доказывает, что свет существует в виде частиц – фотонов. Весомым доказательством в пользу квантовой (то есть не волновой) теории света являются эффекты, в которых проявляется импульс фотонов. Наличие импульса тела равноценно определению направления его движения в каждый момент времени.

Поскольку фотон не имеет массы, рассматривать импульс этой частицы привычным способом тоже нельзя (в классической механике импульс тела ). Импульс фотона можно выразить через энергию:

(2.5)

Формулы (2.4, 2.5) связывают волновые характеристики (частоту или длину волны) с характеристиками обычных тел (массу, энергию, импульс). При этом если мы знаем один из четырех параметров (энергию или импульс фотона, частоту или длину волны света), то автоматически можем по соответствующим формулам рассчитать остальные. То есть описать свойства света можно с помощью любого из этих параметров, и это наглядно показывает, что фотон одновременно обладает свойствами и волны, и частицы. Это называется корпускулярно-волновым дуализмом. Выбор параметра зависит от конкретно поставленной задачи.

Итак, одним из явлений, описываемых с помощью понятия импульс, является давление света. Напомним, что давлением называют величину P, равную импульсу ∆р, переданному единице поверхности в единицу времени . Давление света обусловлено тем, что фотоны передают поверхности свой импульс, определяемый формулой (2.5).

Пусть световой поток, падающий на единичную площадку, содержит N фотонов. Для простоты рассмотрим монохроматическую световую волну. Если коэффициент отражения для данной поверхности равен ρ, тогда от поверхности отразится ρ·N фотонов, а поглотится (1–ρ)·N. Каждый поглощенный фотон передает поверхности импульс , а каждый отраженный – удвоенный импульс , так как при отражении фотона импульс меняется на противоположный (от р до –р), то есть модуль импульса меняется на ∆р=2р_фотона.

Суммарный импульс, передаваемый поверхности, равен

(2.6)

(2.7)

Таким образом, давление, оказываемое светом на поверхность пропорционально энергии фотонов, их плотности в световом потоке (N/S – плотность потока или отношение числа фотонов, попадающих на поверхность к площади этой поверхности), а также зависит от отражающей способности поверхности тела.

Эти выводы в 1901 г. экспериментально проверены П. Н. Лебедевым. Им был сконструирован подвес (рис. 2.4), на котором на легчайшей стеклянной нити были закреплены очень тонкие металлические «крылышки» – темные и светлые диски толщиной 0.01 – 0.1 мм. При такой толщине крылышки имели равномерную температуру, что позволило избежать введения поправок на температурный градиент (отличие температуры слоев, находящихся на различной глубине).

Рис. 2.4. Схема опыта Лебедева

Подвес был помещен в вакуумированный баллон, подвижная система зеркал позволяла направлять свет на обе поверхности крылышек. Давление света определялось по углу поворота нити с освещаемыми крылышками. Полученные результаты совпали с теоретически предсказанными, в частности оказалось, что давление света на зачерненную поверхность крылышек в два раза меньше, чем на зеркальную.

Давление света конечно мало. Например, рассмотрим давление естественного солнечного света у поверхности Земли. Даже если отражающая способность тела крайне мала, давление, испытываемое поверхностью, будет составлять примерно 350·10^–10 мм рт. ст. Для сравнения – атмосферное давление у поверхности Земли составляет 750 мм рт. ст., то есть на 10 порядков больше.

Эффект Комптона

Наличие у света корпускулярных свойств также подтверждается комптоновским рассеянием фотонов. Эффект назван в честь открывшего в 1923 г. это явление американского физика Артура Холли Комптона. Он изучал рассеяние рентгеновских лучей на различных веществах.

Эффект Комптона – изменение частоты (или длины волны) фотонов при их рассеянии. Может наблюдаться при рассеянии на свободных электронах фотонов рентгеновского диапазона или на ядрах при рассеянии гамма-излучения.

Рис. 2.5. Схема установки для исследования эффекта Комптона.

Тр – рентгеновская трубка

Эксперимент Комптона заключался в следующем: он использовал так называемую линию К_α в характеристическом рентгеновском спектре молибдена с длиной волны λ₀ = 0.071нм. Такое излучение можно получить при бомбардировке электронами молибденового анода (рис. 2.5), отрезав излучения других длин волн с помощью системы диафрагм и фильтров (S). Прохождение монохроматического рентгеновского излучения через графитовую мишень (М) приводит к рассеянию фотонов на некоторые углы φ, то есть к изменению направления распространения фотонов. Измеряя с помощью детектора (Д) энергию рассеянных под различными углами фотонов, можно определить их длину волны.

Оказалось, что в спектре рассеянного излучения наряду с излучением, совпадающим с падающим, присутствует излучение с меньшей энергией фотонов. При этом различие между длинами волн падающего и рассеянного излучений ∆λ = λ – λ₀ тем больше, чем больше угол, определяющий новое направление движения фотона. То есть на большие углы рассеивались фотоны с бóльшей длиной волны.

Этот эффект не может быть обоснован классической теорией: длина волны света при рассеянии изменяться не должна, т.к. под действием периодического поля световой волны электрон колеблется с частотой поля и поэтому должен излучать под любым углом вторичные волны той же частоты.

Объяснение эффекту Комптона дала квантовая теория света, в рамках которой процесс рассеяния света рассматривается как упругое столкновение фотонов с электронами вещества. В процессе этого столкновения фотон передает электрону часть своих энергии и импульса в соответствии с законами их сохранения в точности как при упругом столкновении двух тел.

Рис. 2.6. Комптоновское рассеяние фотона

Поскольку после взаимодействия релятивистской частицы фотона с электроном последний может получить ультравысокую скорость, закон сохранения энергии необходимо писать в релятивистской форме:

(2.8)

Где hν₀ и hν – энергии соответственно падающего и рассеянного фотонов, mc² – релятивистская энергия покоя электрона – энергия электрона до столкновения, E_e – энергия электрона после столкновения с фотоном. Закон сохранения импульса имеет вид:

(2.9)

где p₀ и p – импульсы фотона до и после столкновения, p_e – импульс электрона после столкновения с фотоном (до столкновения импульс электрона равен нулю).

Возведем в квадрат выражение (2.30) и помножим на с²:

(2.10)

Воспользуемся формулами (2.5) и выразим импульсы фотонов через их частоты: (2.11)

Учитывая, что энергия релятивистского электрона определяется формулой:

(2.12)

и используя закон сохранения энергии (2.8), получим:

(2.13)

Возведем в квадрат выражение (2.13):

(2.14)

Сравним формулы (2.11) и (2.14) и проведем простейшие преобразования:

(2.15)

(2.16)

Частота и длина волны связаны соотношением ν =с/λ, поэтому формулу (2.16) можно переписать в виде: (2.17)

Разность длин волн λ – λ₀ является очень малой величиной, поэтому комптоновское изменение длины волны излучения заметно лишь при малых абсолютных значениях длины волны, то есть эффект наблюдается только для рентгеновского или гамма-излучения.

Длина волны рассеянного фотона, как показывает эксперимент, не зависит от химического состава вещества, она определяется только углом θ, на который рассеивается фотон. Это легко объяснить, если учесть, что рассеяние фотонов происходит не на ядрах, а на электронах, которые в любом веществе идентичны.

Величина h/mc в формуле (2.17) называется комптоновской длиной волны и для электрона равна λ_c = 2.43·10^–12м.