Логарифмическая термодинамическая
Шкала температуры
Второй закон термодинамики позволяет установить температурную шкалу, не зависящую от термометрических свойств вещества. Запишем КПД цикла Карно:
или
,
где и
– температуры высокотемпературного и низкотемпературного источников.
Пусть имеются три источника тепла с температурами .
![]() |
Возьмем три идеальные машины работающие по циклу Карно и осуществляющие между имеющимися источниками тепла три цикла Карно, как показано на рисунке 6.4. Составим для каждого из циклов соответствующие соотношения:
,
,
.
Циклы I и II образуют совокупную машину Карно, работающую в интервале температур и
. Запишем термические КПД циклов Карно для совокупной машины I-II и машины III
;
.
Поскольку машина III и составная машина I-II работают в одном интервале температур, то их КПД равны и их тепловые эффекты тоже одинаковы, следовательно,
.
Разделим отношения теплот третьей и второй машины:
;
.
Ранее было показано, что . Это возможно лишь в том случае, когда
,
т. е. значения функций и
не должны зависеть от температуры Т3.
Тогда
и выражение для термического КПД цикла Карно перепишется в виде
.
Для обратимого цикла Карно, реализуемого в бесконечно малом интервале температуры , т. е. при
последнее выражение будет иметь вид
.
Разложим в ряд Тейлора
.
Ряд сходящийся и, ограничиваясь первыми его двумя слагаемыми, получим
.
Выбор температуры произволен, обозначая ее впредь как u, введем обозначение
. Следовательно,
.
Получим дифференциальное уравнение, однозначно связывающее КПД обратимого цикла Карно с температурой J, которую называют термодинамической. Т. к. КПД цикла Карно не зависит от свойств рабочего тела, так и термодинамическая температура не будет зависеть от термических свойств вещества. Проинтегрировав, получим
, (6.5)
где – некоторая постоянная температура,
– теплота, соответствующая этой температуре.
Из последнего выражения (6.5) следует, что можно ввести множество различных шкал термодинамической температуры, варьируя выбором типа функции и начальной температурой
.
Кельвин предложил выбрать такой, чтобы температурные интервалы шкалы были пропорциональны
. В этом случае
, тогда
. (6.6)
Пусть температурам и
соответствуют тепловые эффекты
и
, тогда можно записать соответствующие выражения
, а
.
Разность температуры пусть будет равна известному температурному интервалу, например между температурами кипения воды и таяния льда
;
,
то есть , где
.
С учетом выражения для расчета константы “b”, решая (6.6) относительно температуры , получим
. (6.7)
Таким образом, выражение (6.7), позволяет составить температурную шкалу. Такая температурная шкала получила название логарифмической. Следуя, лорду Кельвину будем считать , а интервал равным 100 °С. Очевидно, что в этом случае
,
, следовательно, эта шкала предполагает наличие отрицательных температур. При
;
, а при
,
,
,
. Это означает, что в логарифмической термодинамической шкале температурный интервал равен (-¥; ¥). Однако в виду неудобства использования такая шкала температуры не получила распространения.