Зависимость теплоемкости от температуры

Опыты показывают, что теплоемкость веществ зависит от температуры. Если температура изменяется в незначительных пределах от обычной температуры окружающей среды, то это влияние несущественно и им без особого ущерба для точности расчетов можно пренебречь. При очень низких температурах влияние уже существенно и его необходимо учитывать. Например, в области десятков градусов от абсолютного нуля теплоемкость изменяется пропорционально кубу температуры

с ~ .

Для практических расчетов удобно пользоваться средней теплоемкостью в некотором интервале температуры:

, [Дж/кг×К] (2.47)

Запишем для бесконечно малого количества теплового эффекта в процессе очевидное соотношение . Тогда теплота, подведенная в процессе, при котором температура изменилась от t₁ до t₂, определяется интегралом

. (2.48)

Для определения теплового эффекта в процессе по последней формуле необходимо знать вид функциональной зависимости .

Из формулы средней теплоемкости можно записать:

. (2.49)

Приравняем правые части двух последних выражений:

,

тогда среднего значения теплоемкости в процессе, протекающем в интервале изменения температуры от до получим:

. (2.50)

На основании экспериментальных работ зависимость теплоемкости от температуры часто аппроксимируют в виде степенного ряда:

Для двухатомных газов с достаточной для расчетов точностью можно удовлетвориться первыми двумя членами ряда:

.

Тогда после подстановки получим:

.

.

Рисунок 2.6 Теплота процесса 1-2 в с, t – диаграмме

Откуда для средней теплоемкости в интервале температур t₁, t₂ можно записать расчетную зависимость:

(2.51)

Если зависимость нелинейна, то для определения средней теплоемкости необходимо пользоваться таблицами, при составлении которых рассматривают интервал температуры от 0 до t.

Рассмотрим с, t – диаграмму. Учитывая определение теплоемкости для случая , теплота процесса в с, t – диаграмме будет численно равна площади под кривой процесса.

Пусть термодинамическая система совершает произвольный процесс с нелинейной зависимостью теплоемкости газа от температуры.

Заменим криволинейную площадь равновесной площадью прямоугольника, у которого одна сторона равна t. (Рисунок 2.7) в этом случае его высота будет представлять собой среднюю теплоемкость в интервале температур от 0 до t.

.

Рисунок 2.7 Рисунок 2.8

Если температура рабочего тела в процессе изменяется от t₁ до t₂, то количество тепла так же, как и в предшествующем случае может быть рассмотрена как площадь под кривой процесса. Ее можно представить как разность площадей (рисунок 2.8)

Заменяя каждую из площадей, площадью равновеликих прямоугольников с высотами, равными по величине средним теплоемкостям, в интервале от 0 до t, получим:

или

. (2.52)

Теплоемкости средние сведены в таблицы, которые можно найти в учебной и справочной литературе.