Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии

Если все внешние силы, действующие на тело, разделить на консервативные и неконсервативные, то теорему о кинетической энергии тела можно переформулировать в терминах полной механической энергии тела. Учитывая, что Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru , получим для работы результирующей силы

Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru .

Откуда

Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru ,

где введена величина Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru , называемая полной механической энергией тела. Полученное соотношение называют теоремой о полной механической энергии тела.

Если тело движется только в поле консервативных сил (неконсервативные силы отсутствуют или их работа равна нулю), то Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru и Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru или Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru . Это закон сохранения полной механической энергии.

Теоремы о кинетической энергии тела Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru и полной энергии тела Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru являются различными формулировками одного и того же энергетического принципа и при решении задач можно пользоваться любой из них. При этом необходимо учитывать, что кинетическую энергию Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru изменяют все силы, действующие на тело, а полную механическую энергию Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru – только неконсервативные силы.

Пример 1. На наклонной плоскости, переходящей в основании в цилиндрическую поверхность радиуса R, вертикальный диаметр которой перпендикулярен основанию плоскости, находится тело (рис.44). С какой минимальной высоты оно должно скатиться, чтобы пройти верхнюю точку траектории и чему будет равна его скорость в этой точке? Трение между поверхностями и телом отсутствует.

Рис.44

Дано:R, g. Найти: Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru

Решение: Работа силы трения и нормальной реакции связи на всем пути движения тела равны нулю: Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru Поэтому возможно применение закона сохранения энергии. Для того чтобы тело прошло верхнюю точку, скатившись с минимальной высоты, необходимо, чтобы реакция поверхности в этой точке равнялась нулю Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru .

Имеем для закона сохранения энергии тела в начальной и верхней точках его траектории Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru и второго закона Ньютона в верхней точке Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru . Откуда приходим к системе двух уравнений: Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru и Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru . Исключая Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru , получим Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru и Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru .

Ответ: Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru , Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru .

Пример 2. Пружина с жесткостью k и длиной Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru , с прикрепленным к ней телом массой m, насажены на невесомый стержень. Второй конец стержня и пружины закреплены в одной точке (рис.45).Какую минимальную скорость надо сообщить телу, чтобы оно сделало полный оборот? Трение между телом и стержнем отсутствует.

Рис.45

Дано: m, k, Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru ,g. Найти: Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru

Решение:Чтобы тело сделало полный оборот при минимальной начальной скорости, необходимо, чтобы в верхней точке траектории реакция пружины была равна нулю Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru . Это означает, что в верхней точке траектории пружина не деформирована и ее длина равна Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru .

Условие равновесия тела в нижней точке Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru . Откуда Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru . Второй закон Ньютона для тела в верхней точке Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru , откуда скорость тела в этой точке Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru .

Тело находится в поле двух консервативных сил: силы тяжести и упругой силы, поэтому его полная потенциальная энергия равна Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru . Если выбрать нуль отсчета потенциальной энергии тела в поле силы тяжести в нижней точке его траектории, то закон сохранения для него в нижней и верхней точках траектории будет иметь вид

Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru .

С учетом выражений для Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru и Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru он примет вид Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru .Откуда

Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru .

При отсутствии деформации пружины Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru , Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru , и Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru .

Ответ: Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии - student2.ru .

Наши рекомендации