Расчет и построение электрического поля двух цилиндров

Общей задачей расчета электрического поля является определение напряженности в каждой его точке. Задача считается решенной, если найдено распределение потенциала как функции координат.

Распределение потенциала в плоскости тел, а также распределение зарядов на их поверхности и расчет емкости между телами может быть определен по картине распределения электрического поля, создаваемого поверхностными зарядами тел.

Электрическое поле двух цилиндров, рассматривают как плоскопараллельное поле, т.е. изменением поля по координате Z пренебрегают. В этом случае картина поля, представляющая собой совокупность эквипотенциальных линий и линий напряженности поля, во всех плоскостях, перпендикулярных оси 0Z будет одинакова и достаточно исследовать поле только в комплексной плоскости X0Y.

Построение картин поля двух цилиндров имеющих круговые сечения различных радиусов, выполняется аналогично построению поля двух линейных проводов. Действительно, всегда можно так расположить оси линейных проводов, чтобы в их поле две поверхности с равными потенциалами совпали с поверхностями проводящих цилиндров. В этом случае поле в диэлектрике окружающем цилиндры, будет описываться теми же уравнениями, что и поле двух бесконечно длинных цилиндров кругового сечения с параллельными осями, расположенными в воздухе.

Требуется:

1. Построить картину поля в плоскости перпендикулярной оси

проводников (X0Y) и нанести на ней линии равного потенциала через ΔU=U₀/10.

При построении рекомендуется следующая последовательность:

1.1 Вычислить расстояния h1 и h2 от геометрических осей до плоскости нулевого потенциала и определить положение электрических осей эквивалентных проводов;

1.2 Вычислить радиусы окружностей равного потенциала;

1.3 Построить окружности равного потенциала на основании расчета;

1.4 Вычислить координаты центра линий напряженности поля;

1.5 Построить линии напряженности поля на основании расчета;

2. Определить максимальный градиент потенциала электрического поля;

3. Построить кривую распределения заряда на поверхности одного из цилиндров;

4. Произвести расчеты емкости между цилиндрами на единицу длины цилиндра.

Варианты заданий для первой части работы

№ варианта	№ схемы	R1, м	R2, м	D, м	U0, кВ
		0,010	0,010	0,17
		0,015	0,011	0,13
		0,015	0,020	0,15
		0,025	0,012	0,25
		0,025	0,030	0,13
		0,035	0,015	0,2
		0,035	0,040	0,16
		0,045	0,016	0,15
		0,050	0,010	0,14
		0,035	0,013	0,15
		0,010	0,015	0,17
		0,015	0,012	0,25
		0,020	0,025	0,15
		0,025	0,013	0,2
		0,030	0,035	0,13
		0,035	0,016	0,21
		0,040	0,025	0,16
		0,045	0,015	0,15
		0,050	0,020	0,14
		0,040	0,010	0,2
		0,010	0,055	0,17
		0,030	0,014	0,2
		0,020	0,045	0,15
		0,025	0,013	0,25
		0,030	0,025	0,13
		0,010	0,015	0,25
		0,040	0,015	0,15
		0,045	0,016	0,18
		0,015	0,015	0,15
		0,045	0,011	0,11

Рис.1- Схема №1

Рис.2- Схема №2

Пример расчета:

Исходные данные: схема №1, R₁=0,03 м ; R₂=0,035 м ; D=0,15м ;

U₀=4 кВ.

Построение картин поля

1.1.1 Расчет расстояний h₁ и h₂ и определение положения электрических осей

b – расстояние от плоскости нулевого потенциала до электрической оси, имеем :

b² = h₁² – R₁² = h₂² – R₂² , в рассматриваемом случае b₁ = b₂ = b , т.к. по условию , где - линейная плотность заряда электрической оси

;

м;

м;

м.

Численные значения h₁ и h₂ определяют положение геометрических осей цилиндров относительно плоскости нулевого потенциала, а численное значение b положение электрических осей.

За плоскость нулевого потенциала принимается ось мнимых чисел. Поскольку граничные условия на поверхности цилиндров те же, что на электрической оси - U = const, т.к. положение осей определялось именно из этого условия, то для расчета и построения линий равного потенциала и линий Е поля в диэлектрике, окружающем цилиндры, используются уравнения этих линий для поля двух электрических осей.