Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина.

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru На рисунке 1 представлены экспериментальные кривые зависимости излучательной способности (спектральной плотности энергетической светимости) АЧТ Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru от длины волны при постоянных температурах.

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru

Рис.1 Зависимость излучательной способности АЧТ от длины волны при 1600К,

1700К и 1800К.

Как видно из рисунка излучательная способность АЧТ Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru возрастает с повышением температуры, а ее максимум с увеличением температуры смещается в область более коротких волн. Площадь под кривой равна энергетической светимости АЧТ Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru .

Закон Стефана–Больцмана: энергетическая светимость АЧТ Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru пропорциональна четвертой степени его температуры

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru ,

где s = 5,67×10-8Вт×м-2К-4 - постоянная Стефана-Больцмана. Для серого тела Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru , где Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru – поглощательная способность серого тела.

Закон смещения Вина:выражает зависимость положения максимума функции Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru от температуры:

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru

где Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru м×К – постоянная Вина, Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru – длина волны, на которую приходится максимум излучательной способности АЧТ. Этот закон выполняется и для серых тел.

Формула Рэлея–Джинсадля излучательной способности АЧТ.

Рэлей и Джинс попытались получить вид функции Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru в рамках классической статистической физики, в соответствии с которой тело испускает и поглощает энергию непрерывно. Вычисления привели к формуле:

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru ,

где Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru – средняя энергия осциллятора с собственной частотой n, Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru – постоянная Больцмана, Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru – абсолютная температура, с – скорость света в вакууме.

Полученная зависимость хорошо согласуется с экспериментом при малых частотах (больших длинах волн), т.е. при условии hn << kT, но дает неверный результат при больших частотах. Функция не имеет максимума, монотонно возрастает, а интеграл от этой функции, т.е. полная энергия излучения, равен бесконечности. Эта ситуация была названа современниками ультрафиолетовой катастрофой.

Формула Планка.

Функцию излучательной способности АЧТ, согласующуюся с опытными данными, удалось получить М. Планку в 1900 году. Для этого ему пришлось предположить, что электромагнитная энергия излучается АЧТ порциями (квантами), энергия которых пропорциональна частоте излучения Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru , где Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru =6,63×10-34Дж×с –коэффициент пропорциональности, получивший название постоянной Планка, n–частота излучения.

Формула Планка имеет вид:

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru , Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru , Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru ,

где Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru – испускательные способности АЧТ, Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru – длина волны, n – частота, w – циклическая частота, с – скорость света в вакууме, Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru – постоянная Больцмана, Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru – абсолютная температура, Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru – приведенная постоянная Планка ( Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru = 1,05×10–34 Дж×с).

Средняя мощность излучения в интервале длин волн Dl: Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru , здесь Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru – излучательная способность АЧТ, S – площадь излучающей поверхности.

При Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru формула Планка переходит в формулу Рэлея-Джинса

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru ,

а при Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru – в формулу Вина, которая ранее была получена эмпирически

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru

Примеры решения задач

Задача 1.Исследование спектра излучения Солнца показывает, что максимум его излучательной способности соответствует длине волны, равной 500 нм. Принимая Солнце за АЧТ, определите:

1. энергетическую светимость Солнца;

2. поток энергии, излучаемой Солнцем.

Решение. 1. Выразим температуру излучающей поверхности из закона смещения Вина

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru

и, подставив в закон Стефана-Больцмана, для энергетической светимости, получим:

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru 6,4·107 Вт/м2.

2. Поток энергии, излучаемый Солнцем, равен произведению энергетической светимости Солнца на площадь S его поверхности: Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru , ( Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru , где Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru - радиус Солнца, равный 6,98×108 м). Таким образом, Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru . Произведя вычисления, получим Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru Вт.

Задача 2.Внутренняя поверхность муфельной печи при открытом отверстии диаметром Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru = 5 см имеет температуру Т равную 1000 К. Считая, что отверстие излучает как АЧТ, определите, какая доля мощности рассеивается внешними стенками печи, если мощность P, потребляемая печью, составляет 500 Вт.

Решение. После установления режима теплового равновесного печи доля мощности, рассеиваемой внутренней поверхностью печи:

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru ,

где Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru - мощность излучения, испускаемого отверстием , Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru - энергетическая светимость, Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru - площадь отверстия печи. Окончательно получим:

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru = 96,1%

Задача 3.АЧТ находится при температуре 1500 К. При остывании тела длина волны, соответствующая максимуму излучательной способности, изменилась на 5 мкм. Определите температуру, до которой охладилось тело.

Решение.В соответствии с законом Вина Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru при остывании тела длина волны, приходящаяся на максимум излучения, смещается в сторону более длинных волн. Тогда Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru и для температуры тела после остывания получим:

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru

Задача 4.Диаметр спирали в электрической лампочке d = 0,3 мм, длина спирали Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru = 5 см. При включении лампочки в сеть напряжением U = 127 В черезлампочку течет ток I = 0,31 А. Найдите температуру спирали. Считать, что приус-

тановившемся равновесии все выделяющееся в нити тепло теряется в результате излучения. Отношение энергетической светимости вольфрама и АЧТ а = 0,31.

Решение. По условию задачи электрическая мощность, потребляемая спиралью, равна мощности теплового излучения

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru ,

тогда

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru = 2600 К.

Внешний фотоэффект

Внешний фотоэлектрический эффект -испускание электронов из вещества под действием света (излучения). Если электроны вылетают за пределы вещества, то фотоэффект называют внешним. Он наблюдается главным образом у металлов. Вылетающие с поверхности металла электроны называют фотоэлектронами, а регистрируемый в цепи ток – фототоком.

Фотоэффект был открыт Герцем в 1887 г. Столетов изучал фотоэффект на установке, изображенной на Рис.2а, которая позднее была усовершенствована другими исследователями (Рис.2б)

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru

Рис.2а – схема установки Столетова, где А – источник излучения, B - источник Э.Д.С., С – конденсатор, состоящий из проволочной сетки и сплошной пластины, G – гальванометр; б – установка Ленарда и других исследователей для изучения фотоэффекта, где К и А – катод и анод фотоэлемента, V – вольтметр, mA - миллиамперметр, измеряющий фототок, R - реостат.

Герцем и Столетовым были установлены следующие законы фотоэффекта:

1. Максимальная сила фототока (тока насыщения) пропорциональна световому потоку, падающему на катод.

2. Максимальная скорость фотоэлектронов увеличивается с ростом частоты (с уменьшением длины волны) падающего света и не зависит от интенсивности светового потока.

3. Независимо от интенсивности светового потока фотоэффект начинается только при определенной для данного металла минимальной частоте (максимальной длине волны) света, называемой красной границей фотоэффекта.

Классическая теория не смогла объяснить законы фотоэффекта. Чтобы сделать это А. Эйнштейн предположил, что свободный электрон проводимости в металле поглощает квант света Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru . Часть энергии поглощенного (и переставшего существовать) кванта, полученная электроном, затрачивается на работу выхода Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru из металла, которую он совершает против сил притяжения со стороны положительного заряда ионов кристаллической решетки. Кроме того, между электронами проводимости в металле и электронами, вылетевшими из металла в результате термоэлектронной эмиссии устанавливается динамическое равновесие и возникает тонкий запирающий слой, напряженность электрического поля которого направлена наружу (по отношению к поверхности металла). Электрон, вылетающий из металла в результате фотоэффекта должен преодолеть этот запирающий слой.

Закон сохранения энергии для фотоэффекта (формула Эйнштейна) имеет вид:

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru ,

где Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru – работа выхода электрона из вещества, Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru –максимальная кинетическая энергия электрона, Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru – энергия поглощенного кванта, Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru –постоянная Планка, Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru – масса электрона.

Если электрон поглощает квант света не у самой поверхности, а на некоторой глубине, то часть его кинетической энергии может быть потеряна в результате случайных столкновений в металле. Кинетическая энергия электрона будет максимальной, если электрон избежит указанных столкновений.

Из уравнения Эйнштейна следует, что Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru , зависит от частоты излучения, но не зависит от его интенсивности.

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru Вольтамперная характеристика(зависимость фототока Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru от анодного на пряжения Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru )

Рис. 3. Вольтамперные характеристики фотоэлемента для одной частоты падающего излучения и разных световых потоков Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru .

Характер кривых вольтамперных характеристик фотоэлемента (Рис.3) объяс-няется следующим образом. Электроны вылетают из катода с различными по величине скоростями. При U = 0 лишь часть испущенных электронов, обладающих достаточно большими скоростями, достигает анода. При некотором положительном напряжении (U > 0) фототок достигает насыщения - все электроны, испущенные катодом, попадают на анод. Чем больше световой поток Ф, тем больше квантов света поглощается электронами в единицу времени, тем больше электронов вылетает из металла и, следовательно, тем больше ток насыщения Iн = k·Ф. Для прекращения фототока необходимо приложить достаточное по величине отрицательное напряжение Uз, называемое задерживающим. В этом случае выполняется условие Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru (e — заряд электрона, m — его масса, Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru — задерживающее напряжение) и ни одному из электронов не удастся преодолеть задерживающее электрическое поле и достичь анода. Вольтамперная характеристика позволяет определить число электронов, вылетающих из катода в единицу времени и максимальную кинетическую энергию электронов, которая выражается через задерживающее напряжение. Коэффициент пропорциональности k (мкА/Вт), соответствующий силе фототока (выраженной в микроамперах) при освещенности катода световым потоком 1 Вт, называют фоточувствительностью элемента. Фототок насыщения Iн = е·n, где n — число электронов, испускаемых катодом в 1 с. Зависимость фототока насыщения от светового потока носит название световой характеристики фотоэлемента (Рис. 4).

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru

Рис.4 Световая характеристика фотоэлемента

Поскольку Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru , то уравнение Эйнштейна можно записать в виде:

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru .

В случае если энергия фотона много больше работы выхода ( Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru ), то

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru

Внешний фотоэффект считается состоявшимся, если электрон выходит из металла с нулевой скоростью. Максимальная длина волны Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru падающего кванта или минимальная частота n0, w0, при которой это происходит, называется красной границей фотоэффекта.

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru

Красной граница фотоэффекта называется потому, что увеличение длины волны падающего света до максимально возможной соответствует смещению в сторону красной границы для видимого спектра. При меньшей частоте падающего света (большей длине волны) фотоэффект не наблюдается.

Энергию фотонов и работу выхода принято выражать во внесистемных единицах - электронвольтах (эВ). Один электронвольт равен энергии, приобретенной электроном при прохождении разности потенциалов 1В: 1 эВ = 1,6×10-19 Дж.

Экспериментально было обнаружено, что зависимость Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru от n для данного металла имеет вид наклонной прямой, причем наклон прямых, построенных для разных металлов, оказался одинаковым.

Из соотношения Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru вытекает уравнение, соответствующее экспериментальной зависимости, показанной на Рис.5,

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru .

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru

Рис. 5 Зависимость максимальной кинетической энергии фотоэлектронов от частоты падающего света

Если электрон в металле является свободным (не связанным с атомом), то фотоэффект не состоится. Законы сохранения импульса и энергии для фотоэффекта в этом случае имели бы вид (до взаимодействия с фотоном электрон покоился):

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru ,

где p – импульс электрона, Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru - энергия покоя электрона; Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru - энергия электрона, который после поглощения фотона приобрел импульс Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru .

Возведя полученные соотношения в квадрат, получим

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru .

При Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru эти равенства несовместимы, откуда следует, что свободный электрон не может поглотить фотон.

Задача 1. Определите максимальную скорость фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра:

1. ультрафиолетовым излучением с длиной волны 155 нм;

2. g - излучением с длиной волны 2,47 пм.

Работа выхода электрона из серебра равна 4,7 эВ.

Решение.Кинетическаяэнергия фотоэлектрона зависит от энергии фотона

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru , вызывающего фотоэффект. Если энергия фотона много меньше энергии покоя

электрона Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru , то кинетическая энергия фотоэлектрона выражается по классической формуле Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru , а если Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru сравнима по величине или больше Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru , то по релятивистской Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru .

1. Энергия фотона Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru равна:

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru Дж = 8 эВ,

что много меньше энергии покоя электрона Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru . Поэтому максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона выражается по классической формуле из уравнения Эйнштейна Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru , и равна

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru =1,08×106м/с.

2. Энергия фотона g - излучения Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru Дж = 0,502 МэВ

сравнима с энергией покоя электрона, поэтому для вычисления его кинетической энергии необходимо использовать релятивистскую формулу. Работа выхода ( Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru = 4,7 эВ) много меньше энергии g - фотона, поэтому ею можно пренебречь:

Выполнив преобразования, из уравнения Эйнштейна найдем

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru =0,755,

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru м/с.

Задача 2. Красная граница фотоэффекта для никеля равна 0,257 мкм. Найдите длину волны света, падающего на никелевый электрод, если фототок прекращается при задерживающей разности потенциалов, равной 1,5 В.

Решение.Найдем длину волны из уравнения Эйнштейна Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru .

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru = 196 нм.

Задача 3. Какую часть энергии фотона составляет энергия, которая пошла на совершение работы выхода электронов из металла, если длина волны для красной границы равна 0,54 мкм, а максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов 0,5эВ?

Решение.Из формулы Эйнштейна для фотоэффекта Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru получим Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru , где Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru = 4,48×10-19 Дж = 2,8 эВ.

Тогда Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru , то есть составляет 82%.

Задача 4. Возникает ли фотоэффект в цинке под действием излучения, имеющего длину волны 0,45 мкм? Работа выхода электронов из цинка равна 4,2 эВ.

Решение.Минимальная энергия кванта, вызывающего фотоэффект, равна работе выхода. Энергия кванта по условию задачи Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru равна 2,75 эВ, что меньше работы выхода. Поэтому фотоэффекта не будет.

Задача 5. Металлический шар радиусом 10 см облучают светом с длиной волны 200 нм. Определите установившийся заряд шара, если работа выхода электрона с его поверхности равна 7,2×10–19 Дж.

Решение. На шаре установится такой заряд, что под действием его электростатического поля самые быстрые электроны, покидающие поверхность шара вследствие фотоэффекта, вернутся на положительно заряженный шар. В этом случае вы

полняется равенство Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru , где Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru Из уравнения Эйнштейна получим Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru , откуда

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru = 1,9×10–11 Кл.

Задача 6. Фотоны с длиной волны 330 нм вырывают электроны из металла с работой выхода 2,9 эВ. Найдите максимальный импульс, передаваемый поверхности металла при вылете каждого электрона в результате фотоэффекта. Считать, что электрон вылетает нормально к поверхности катода навстречу падающему фотону.

Решение.Закон сохранения импульса для фотоэффекта имеет вид (рис.6):

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru ,

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru фотокатод

Рис.6

где – Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru импульс фотона, Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru – максимальный импульс электрона, Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru – импульс, полученный поверхностью катода. Из уравнения Эйнштейна импульс падающего фотона

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru .

Импульс, передаваемый поверхности, равен сумме импульса фотона и импульса вылетевшего фотоэлектрона.

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина. - student2.ru = 5×10–25 кг×м/с.

Наши рекомендации