Согласно закону радиоактивного распада

и , (3)

где -время, прошедшее от первого до второго измерения (по условию =60 мин),

Разделим уравнение (2) на уравнение (1) и, учитывая (3), получим:

или

После логарифмирования получим:

Итак, постоянная распада

,

период полураспада:

Пример 7. Радиоактивное ядро магния выбросило позитрон и нейтрино. Найти энергию β⁺-распада ядра.

Решение. Реакцию β⁺-распада можно записать так:

,

здесь - позитрон, а -нейтрино.

Энергетический эффект ядерной реакции подсчитывается по формуле:

Перейдем от масс ядер к массам атомов:

Так как массы электрона и позитрона одинаковы, то

Q=c²(M^Mg-M^Na-2m_e)

Произведя подстановку табличных значений (см. таблицу 2.3 приложения), получаем:

Q=931,5(22,99414-22,98977-0,0011)=3,04(МэВ)

Пример 8. Написать недостающие обозначения ядерной реакции и найти энергию, выделяющуюся в результате этой реакции.

Решение. В развернутом виде эта ядерная реакция записывается:

В силу законов сохранения зарядового и массового числа имеем:

Z=(1+6)-7=0, A=(1+14)-14=1,

т.е. налетающая частица является нейтроном .

Энергия реакции представима формулой:

Q=c²[( +m_n)-(m_p+ )

или, перегруппировывая и заменяя массы ядер на массы атомов, в

Подставляя из таблиц 2.3 и 2.4 значения входящих в эту формулу величин и

учитывая связь атомной единицы массы с энергией (см. 1.6), имеем:

Q=931,5[(14,00307-14,00324)+(1,00867-1,00783)]=0,62 (МэВ).

Пример 9.: Электрон в атоме водорода находится на энергетическом уровне . Определить орбитальный момент импульса этого электрона, а также наименьший угол, который может составить с осью . Фотон какой энергии может быть испущен этим электроном спонтанно?

Решение:1) В -состояниях азимутальное квантовое число Поэтому орбитальный момент импульса электрона

,

где = - постоянная Планка. При заданной величине момента импульса (при заданном ) его проекция на ось может быть равной

, (1)

где - магнитное квантовое число ( ). В соответствии с (1), может принимать значение, каждому из которых соответствует определенная ориентация момента импульса относительно оси . При этом, угол между и осью будет минимальным тогда, когда будет максимальной (см. рис.). Согласно (1), максимальное значение проекции момента импульса на ось

( ).

cos = ,

то есть .

изменение азимутального квантового числа . Поэтому с уровня электрон

спонтанно может перейти только на уровень ( ). Энергию электрона на энергетическом уровне с главным квантовым числом можно рассчитать по формуле :

, эВ

Следовательно, энергия фотона, испускаемого при переходе , равна

эВ.

Контрольная работа № 6

Указания к выполнению и оформлению контрольной работы.

К решению задач следует приступать после тщательного изучения теории соответствующего раздела. Каждая задача должна быть оформлена на отдельном листе с указанием фамилии студента, группы, номера варианта и дня сдачи. Условие задачи нужно переписывать полностью. Решение задачи должно сопровождаться подробными пояснениями. Работы, содержащие в решении только набор формул, к проверке не принимаются. Как правило, необходимо делать чертеж (рисунок), поясняющий решение задачи. Решение задачи желательно получить в общем виде, а затем подставить числовые значения заданных величин, выраженных в единицах системы СИ.

Номер варианта контрольной работы студент определяет по своему номеру в журнале группы.

№ номер в журнале группы	Н о м е р а з а д а ч

[2]601. Найти потенциальную, кинетическую и полную энергию на 2-м уровне в атоме водорода.

602. Определить длины волн всех спектральных линий, которые наблюдаются в видимом диапазоне спектра атома водорода.

603. Найти и сравнить потенциальную и кинетическую энергии электрона на n-м уровне атома водорода в нерелятивистском приближении.

604. Найти λ_min и λ_max для серии Лаймана в спектре атома водорода.

605. Фотон с энергией 26,5 эВ выбил электрон из невозбужденного атома водорода. Какова скорость электрона на бесконечности?

606. Используя теорию Бора для атома водорода, определить: 1) радиус ближайшей к ядру орбиты (первый боровский радиус); 2) скорость движения электрона по этой орбите.

607. Какую наименьшую энергию (в эВ) должны иметь электроны, чтобы при возбуждении атомов водорода ударами этих электронов спектр водорода имел три спектральные линии? Найти длины волн этих линий.

608. Определите изменение орбитального механического момента электрона при переходе его из возбужденного состояния, в основное с испусканием фотона с длиной волны λ = 1,02·10^-7м.

609. Определите частоту света, испускаемого атомом водорода, при переходе электрона на уровень с главным квантовым числом n = 2, если радиус орбиты электрона уменьшился в k = 9 раз.

610. Определите частоту вращения электрона по третьей боровской орбите атома водорода.

611. 1) Найти наибольшую длину волны для серии Лаймана в спектре водорода; 2) какую наименьшую энергию должны иметь электроны, чтобы при возбуждении атомов водорода ударами этих электронов появилась эта линия?

612. Определить потенциал ионизации атома водорода, найдя работу удаления электрона с первой боровской орбиты за пределы атома.

613. На сколько изменилась кинетическая энергия электрона в атоме водорода при излучении фотона с длиной волны λ = 486 нм?

614. Какова должна быть длина волны монохроматического света, чтобы при возбуждении атомов водорода квантами этого света радиус орбиты электрона увеличился в 9 раз?

615. Найти: 1)радиус второй боровской орбиты для однократно ионизированного атома гелия; 2) скорость электрона на ней.

616. Найти длину волны де Бройля для электрона, движущегося со скоростью 4 Мм/с.

617. Найти длину волны де Бройля для протона, летящего со скоростью 2 Мм/с.

618. Какую ускоряющую разность потенциалов должна пройти α-частица (m_α = 4m_p; q_α = 2e), чтобы длина ее волны составляла 2∙10^-14 м.?

619. С какой скоростью движется электрон, если длина волны де Бройля у него равна комптоновской длине волны? Указание: комптоновской длиной волны называют величину , где m₀ -масса покоя частицы.

620. Найти длину волны де Бройля (в нерелятивистском приближении) для электрона находящегося на третьем (n = 3) энергетическом уровне в атоме водорода и сравнить ее с радиусом третьей боровской орбиты.

621. Электрон с кинетической энергией 20эВ находится в металлической пылинке диаметром 2 мкм. Оценить (в %) относительную погрешность с которой может быть определена скорость электрона из соотношения неопределенностей.

622. Среднее время жизни нейтрона 1,01·10^-3с. Определить предел точности в определении массы покоя этой частицы.

623. Из соотношения неопределенностей для энергии и времени найти ширину энергетического уровня в атоме водорода, находящегося в возбужденном состоянии (время жизни электрона в этом состоянии считать равным 10^-7с).

624. Считая, что минимальная кинетическая энергия нуклона в ядре Е_К = 8 МэВ, найти из соотношения неопределенностей размеры ядра.

625. Найти отношение дебройлевской длины волны частицы к величине неопределенности Δx ее координаты, соответствующей неопределенности импульса в 0,1%.

626. Определить какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти протон, чтобы длина волны де Бройля для него была 1 пм.

627. Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов U = 500 В, имеет длину волны де Бройля λ =1,282 пм. Принимая заряд этой частицы равной заряду электрона, определить ее массу.

628. Вывести зависимость между длиной волны де Бройля релятивистской частицы и ее кинетической энергией.

629. Определить отношение неопределенностей скоростей электрона, если его координата установлена с точностью до 10^-5 м, и пылинки массой m = 10^-12 кг, если ее координата установлена с такой же точностью.

630. Длина волны λ излучаемого атомом фотона составляет 0,6 мкм. Принимая время жизни возбужденного состояния Δt = 10^-8 с, определить отношение ширины энергетического уровня, на котором находился возбужденный электрон, к энергии излучаемой атомом.

631. Частица находится в потенциальной яме. Найти отношение разности соседних энергетических уровней к энергии E_n, если: 1) n = 2; 2) n→¥

632 Электрон находится в потенциальной яме шириной L=1нм. Найти минимальную разность энергий ΔЕ соседних энергетических уровней. Ответ выразить в эВ.

633. Частица в потенциальной яме находится в возбужденном состоянии (n = 3). Ширина ямы L. Определить, в каких точках интервала (0<x<L) плотность вероятности обнаружить частицу имеет максимальное и минимальное значение.

634. Частица находится в потенциальной яме в основном (невозбужденном состоянии). Найти вероятность обнаружить частицу в начальной трети ямы.

635.Электрон находится в потенциальной яме шириной 2L. Найти вероятность нахождения электрона в основном состоянии в интервале ΔL = ּL равноудаленном от стенок ямы.

636. Частица находится в потенциальной яме в первом возбужденном состоянии. Найти вероятность нахождения частицы в средней трети ямы.

637. Собственная волновая функция, описывающая состояние частицы в потенциальной яме, имеет вид . Используя условие нормировки, найти постоянную С.

638. Электрон находится в потенциальной яме шириной L. Найти среднее значение координаты х электрона в состоянии n = 1.

639. Электрон находится в потенциальной яме шириной 1 нм. Найти значение энергии, соответствующие n = 3, n = 10.

640. Частица находится в потенциальной яме. Найти отношение разности соседних энергетических уровней ΔЕ_n+1,n к энергии Е_n для n = 5. Как оно изменится для n = 12?

641.Какова ширина L одномерной потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками, если при переходе электрона со второго квантового уровня на первый излучается энергия 1 эВ? Как изменится энергия, если L увеличится в 10 раз?

642. Определить при какой ширине потенциальной ямы L дискретность энергии становится сравнимой с энергией теплового движения kТ.

643. Электрон находится в потенциальной яме шириной L. Найти среднее значение координаты < х > электрона в состоянии n = 2.

644. Частица находится в потенциальной яме в первом возбужденном состоянии. Найти вероятность нахождения частицы в третьей четверти ямы.

645. Ширина потенциальной ямы L= 3 нм. Чему равна частота излученного фотона при переходе электрона с третьего квантового уровня на первый? Как она изменится при увеличении ширины ямы в три раза?

646. Найти энергию связи и удельную энергию связи ядра атома лития . Ответ дать в эВ и в Дж.

647. Удельная энергия связи ядра, состоящего из восьми протонов и девяти нейтронов, равна 7,51 МэВ/нукл. Определить массу нейтрального атома, обладающего таким ядром. Ответ дать в а.е.м. и в кг. Какой это элемент?

648. Найти энергию связи и удельную энергию связи ядра атома магния . Ответ дать в эВ и в Дж.

649. Найти массу нейтрального атома, если его ядро состоит из двух протонов и двух нейтронов, а энергия связи равна 26,3 МэВ. Ответ дать в а.е.м. и в кг. Какой это элемент?

650. Найти энергию связи и удельную энергию связи ядра атома алюминия . Ответ дать в эВ и в Дж.

651. Найти массу нейтрального атома, ядро которого состоит из четырех протонов и шести нейтронов, если энергия связи этого ядра равна 65,02 МэВ. Ответ дать в а.е.м. и в кг. Какой это элемент?

652. Определить зарядовые числа ядер, массовые числа и символы ядер, которые получатся, если в ядрах , , заменить нейтроны протонами, а протоны – нейтронами.

653. Энергия связи ядра состоящего из трех протонов и четырех нейтронов, равна 39,3 МэВ. Определить массу нейтрального атома, обладающего этим ядром. Ответ дать в а.е.м. и в кг. Какой это элемент?

654. Найти энергию связи и удельную энергию связи ядра атома кальция . Ответ дать в эВ и в Дж.

655. Какая энергия выделится при соединении одного протона и двух нейтронов в атомное ядро? Какой это элемент? Ответ дать в эВ и в Дж.

656. Найти энергию связи и удельную энергию связи ядра атома урана . Ответ дать в эВ и в Дж.

657. Найти массу нейтрального атома, ядро которого состоит из шести протонов и восьми нейтронов, если удельная энергия связи этого ядра равна 7,53 МэВ/нукл. Ответ дать в а.е.м. и в кг. Какой это элемент?

658. Найти энергию связи и удельную энергию связи ядра атома натрия . Ответ дать в эВ и в Дж.

659. Найти энергию связи и удельную энергию связи ядра атома кремния . Ответ дать в эВ и в Дж.

660. Найти энергию связи и удельную энергию связи ядра атома . Ответ дать в эВ и в Дж.

661. Период полураспада радиоактивного изотопа актиния составляет 10 сут. Определить время, за которое распадается 1/3 начального количества ядер актиния.

662. Некоторый радиоактивный препарат имеет постоянную распада λ = 1,44×10^-3 1/час. Через сколько времени распадется 75% первоначального количества ядер?

663.Некоторое количество радона помещено в пустой сосуд.

1) Построить на миллиметровке график зависимости относительного количества радона N/N₀ в сосуде от времени в интервале 0 £ t < 20 сут. через каждые двое суток. Для радона λ = 0,811 сут^-1.

2) Из этой кривой N/N₀ = f(t) найти период полураспада.

664. Найти начальную удельную активность урана и радона .

665. Ионизационный счетчик Гейгера-Мюллера в отсутствие радиоактивного препарата регистрирует определенный «фон», вызываемый космическим излучением или радиоактивными загрязнениями. Какому количеству радона соответствует «фон» если счетчик регистрирует один импульс за 5с?

666. Пользуясь таблицей Менделеева и правилами смещения, определить в какой элемент превращается после трех α – и двух b - распадов?

667. Сколько процентов начального количества ядер радиоактивного изотопа распадается за время равное средней продолжительности жизни этого изотопа?

668. Ядра радиоактивного изотопа претерпевают последовательно 5 α – распадов и 2 - распада. Определить конечный продукт реакции.

669. В результате распада 1 г радия за год образовалось некоторое количество гелия, занимающего при нормальных условиях V = 0,043 м³. Найти из этих данных число Авогадро.

670. Определить во сколько раз начальное количество ядер радиоактивного элемента уменьшится за три года, если за 1 год оно уменьшилось в 4 раза.

671. Какое количество урана имеет такую же активность как 1 мг стронция ?

672. В ампулу помещаем радон, активность которого равна 400 мкюри. Через сколько времени после наполнения ампулы радон будет давать 2,22×10⁹ расп/с?

673. К 10 мг радиоактивного изотопа примешали 30 мг стабильного изотопа . На сколько уменьшилась начальная удельная активность препарата?

674. Счетчик Гейгера-Мюллера, установленный вблизи препарата радиоактивного изотопа серебра, при первом измерении регистрирует 5200 импульсов в мин., а через сутки 2800 имп в мин. Определить период полураспада изотопа.

675. Определить, какая часть (в %) начального количества ядер радиоактивного изотопа останется не распавшейся по истечении времени t, равного двум средним временам жизни t радиоактивного ядра.

676. Написать недостающие обозначения и дать развернутый вид ядерных реакций: 1) ¹⁹F(p,x)¹⁶ 0; 2) ⁵⁵Mn(x,n)⁵⁵ Fe; 3) ²⁷Al(α,p)X. Подсчитать число α и b переходов в семействе урана.

677. Написать недостающие обозначения и дать развернутый вид ядерных реакций: 1) ⁴⁰Ca(p,α)X; 2) ⁷Li(α,n)X; 3) ²H(d,x)⁴He. Подсчитать число α и b переходов в семействе тория.

678. Написать недостающие обозначения и дать развернутый вид ядерных реакций: 1) ¹⁴N(x,p)¹⁴ C; 2) ¹⁰Be(d,x)¹² C; 3) ¹³C(d,x)⁴He. Подсчитать число α и b переходов в семействе актиния.

679. Найти энергию выделяющуюся при реакции ²⁷Al(α,p)³⁰Si, если в реакции превращению подвергаются все ядра, содержащиеся в 3г алюминия.

680. При бомбардировке изотопа азота нейтронами образуется b-радиоактивный изотоп некоторого элемента и протон. Найти энергию, выделяющуюся при b-распаде этого изотопа.

681.Рассчитать энергетический эффект ядерной реакции¹⁰Be(d,n)¹¹B. Выделяется или поглощается при этом энергия?

682. В ядерной реакции ²H(d,n)³He выделяется энергия Е = 3,27 МэВ. Определите массу атома .

683. Рассчитать энергетический эффект ядерной реакции ¹⁴N(α,p)¹⁷О.Выделяется или поглощается энергия в этой реакции?

684. Ядро урана , захватывая быстрый нейтрон, превращается в радиоактивный изотоп урана, который претерпевает b-распад, и превращается в трансурановый элемент, который в свою очередь также претерпевает b-распад, в результате образуется плутоний. Запишите все эти процессы в виде ядерных реакций.

685. Термоядерная реакция при взрыве водородной бомбы приводит к образованию гелия из дейтерия и трития. 1) Написать уравнение ядерной реакции в развернутом виде. 2) Найти энергетический эффект. 3) Сколько энергии выделяется при расходе 3 г трития?

686. В результате углеродного цикла четыре ядра водорода превращаются в ядро гелия , а также образуется три g-кванта, два позитрона и два нейтрино. Запишите уравнение этой реакции, определите выделившуюся при этом энергию.

687*. Определить мощность атомной электростанции при расходе 0,32 г урана –235 в сутки, если КПД станции составляет 22%.

688*. Сколько ядер урана –235 должно делиться в 1 с, чтобы мощность ядерного реактора была равна 120 МВт?

689*. Определить, сколько тонн угля с теплотворной способностью 700 ккал/кг необходимо сжигать в сутки, чтобы создать мощность эквивалентную мощности атомной электростанции, расходующей 1 г урана за то же время (принять КПД обеих станций одинаковыми).

690*. Атомная подводная лодка имеет мощность атомных установок 14,7 МВт. Топливом служит обогащенный уран (25% + 75% ). Определить запас горючего, необходимого для месячного плавания лодки.

*Примечание. В задачах №№687-690 принять, что при делении ядра урана-235 выделяется энергия 200 Мэв.

691. Электрон в атоме водорода находится на энергетическом уровне .Определить орбитальный момент импульса этого электрона, а также наименьший угол, который может составить с осью .

692. Определить возможные значения орбитального момента импульса электрона в возбужденных состояниях атома водорода, энергия возбуждения которых равна 12,09 эВ.693. Электрон в атоме водорода, находившийся на энергетическом уровне 3s, спонтанно испустил фотон. Определить изменение орбитального момента импульса электрона.

694. Электрон в атоме водорода, находившийся на энергетическом уровне 3s, спонтанно испустил фотон. Определить изменение энергии электрона.

695. Фотон с длиной волны мкм выбил электрон из покоившегося атома водорода, находившегося в основном состоянии. С какой скоростью движется этот электрон вдали от образовавшегося иона?

696. Электрон в атоме водорода, находившийся в основном состоянии, поглотил фотон и перешел в состояния с главным квантовым числом .Определить изменение энергии и орбитального момента импульса электрона.

697. Определить возможные значения проекции орбитального момента импульса электрона на ось и наименьший угол, который орбитальный момент импульса может иметь с этой осью, если электрон находится в -состояниях.

698. Определить углы, которые спин электрона может иметь с осью .

699. Какие значения орбитального момента импульса может иметь электрон в атоме водорода в состояниях с главным квантовым числом ?

700. При возбуждении электронным ударом атомы водорода, находившиеся в основном состоянии, переходят в состояния с некоторым значением главного квантового числа . При этом спектр излучения атомов имеет три спектральные линии. Определить и длины волн этих линий.

701. Электрон в атоме водорода, находившийся на энергетическом уровне 3d, спонтанно испустил фотон. Определить изменение орбитального момента импульса электрона.

702. Электрон в атоме водорода, находившийся на энергетическом уровне 3d, спонтанно испустил фотон. Определить изменение энергии электрона.

703. Определить максимальную и минимальную длину волны и максимальную и минимальную энергию фотона в серии Лаймана.

704.Определить максимальную и минимальную длину волны и максимальную и минимальную энергию фотона в серии Бальмера.

705. Определить максимальную и минимальную длину волны и максимальную и минимальную энергию фотона в серии Пашена.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица 2.1

ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

Число Авогадро N_A= 6,023ּ10²³ моль^-1

Постоянная Планка h =6,63ּ 10^-34 Джּс

Скорость света с =3ּ10⁸ м/c

Электрическая постоянная = 8,85ּ10^-12 Ф/м

Постоянная Ридберга R =1,098ּ10⁷ м^-1

Масса электрона m_e = 9,11ּ10^-31 кг

Заряд электрона е = 1,6ּ10^-19 Кл

Таблица 2.2

НЕКОТОРЫЕ ВНЕСИСТЕМНЫЕ ЕДИНИЦЫ

Калория 1 кал = 4,14 Дж

Атомная единица массы 1 а.е.м. = 1,66ּ10^-27 кг

Электрон-вольт 1 эВ = 1,6ּ10^-19 Дж

Таблица 2.3

МАССЫ НЕЙТРАЛЬНЫХ АТОМОВ ( в атомных единицах массы )

Элемент	Z	Изотоп	Масса	Элемент	Z	Изотоп	Масса
Водород			1,00783	Азот			13,00574
	2,01410		14,00307
	3,01605	Кислород			15,99491
Гелий			4,00260		17,00358
Литий			7,01601	Натрий			21,99444
Бериллий			8,00785		22,98977
	10,01354	Магний			22,99414
Бор			10,01294	Алюминий			26,99010
	11,00931		29,99817
Углерод			12,00000	Кремний			29,98325
	13,00335	Кальций			39,97542
	14,00324	Уран			235,11750

Таблица 2.4

МАССА И ЭНЕРГИЯ ПОКОЯ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ И

ЛЕГКИХ ЯДЕР

Частица	Обозначение	Масса	Е0 , МэВ
кг	а.е.м.
Электрон		9,11ּ10-31	0,00055	0,511
Протон	р	1,672ּ10-27	1,00728
Нейтрон	n	1,675ּ10-27	1,00867
Дейтон	d	3,350ּ10-27	2,01355
- частица		6,640ּ10-27	4,00149

Таблица 2.5

ПЕРИОДЫ ПОЛУРАСПАДА РАДИОАКТИВНЫХ ИЗОТОПОВ

Изотоп	Тип распада	Период полураспада
Актиний		10сут = 8,64 ּ 105 с
Магний		10мин = 600 с
Радий		10-2 с
Радий		1620 лет = 5,12ּ1010 с
Радон		3,8 сут = 3,28ּ105 с
Торий		7000 лет = 2,2ּ1011 с
Уран		7ּ108 лет = 2,21ּ1016 с
Уран		4,5ּ109 лет = 1,42ּ1017 с
Стронций		26,6 лет = 8,39ּ108 с
Кальций		163,8 сут = 1,42ּ107 с

Таблица 2.6

РАБОТА ВЫХОДА ЭЛЕКТРОНОВ ИЗ МЕТАЛЛА

Металл	А, эВ
Калий	2,2
Литий	2,3
Платина	6,3
Рубидий	2,1
Серебро	4,7
Цезий	2,0
Цинк	4,0

[2]