Связь линейных и угловых кинематических характеристик

Длина дуги l_АВ (рис.1.13) равна l_АВ = rΔj, где Δj измеряется в радианах. Разделив левую и правую части равенства на Δt, получим

,

откуда v = rw. (1.21) В векторном виде связь линейной и угловой скорости запишется в виде:

Продифференцировав по времени левую и правую части уравнения (1.21), получим

В правой части мы имеем тангенциальное ускорение, а в левой произведение радиуса-вектора на угловое ускорение:

или в векторном виде:

. (1.22)

Вывод выражения для нормального (центростремительного) ускорения а_n.

Пусть в момент времени t₁ точка находится в А (рис.1.15), ее скорость _, в момент времени t₂ точка находится в В, скорость , так как она движется равномерно

= = v.

модуль перемещения материальной точки равен хорде АВ.

Рис. 1.15

Для определения изменения скорости параллельно перенесем вектор в точку А. Тогда . Треугольники v₁Av₂ и AOB подобны, так как они равнобедренные и углы при вершинах равны, как углы между взаимно перпендикулярными сторонами ( и ). Следовательно,

Ds/r = Dv/v.

Разделим на Dt левую и правую части равенства и перейдем к пределу при Dt ® 0:

.

Предел в левой части равенства определяет скорость, а правой – ускорение:

,

отсюда

a_n = v²/r. (1.23)

При Dt ® 0 Dj ® 0, следовательно, вектор перпендикулярен и направлен к центру окружности.

Примеры решения задач

Рассмотрим в качестве примера задачу о движении тела, брошенного со скоростью v₀ под углом a к горизонту. Такое движение называется баллистическим движением.

Даны начальная скорость и угол a, ускорение тела постоянно и равно ускорению свободного падения . Определим: 1) уравнение движения; 2) траекторию движения; 3) время полета t_п; 4) дальность полета l; 5) максимальную высоту подъема h_max; 6) a_n и a_t в начальной точке траектории и в наивысшей точке подъема; 7) радиусы кривизны траектории в этих точках.

1) Движение происходит в плоскости хОу (рис.1.16). В начальный момент времени, t = 0, тело находилось в начале координат, т.е. в точке О.

Рис. 1.16

Движение происходит с постоянным ускорением свободного падения.

Тогда уравнение движения имеет вид:

.

В проекциях на оси Ох и Оу имеем:

х = v_0xt = v₀t cos a; (1.24)

y = v_0yt – gt²/2 = v₀t sin a – gt²/2. (1.25)

Согласно закону независимости движений это движение можно представить как сумму двух движений: равномерного движения вдоль оси Ох и равноускоренного вдоль оси Оу.

Скорость вдоль оси Ох остается постоянной и равной проекции начальной скорости

v_x= v_0x = const. (1.26)

Движение по оси Оу равноускоренное с постоянным ускорением а_у = -g и начальной скоростью v_0у = v₀ sin a. Изменение проекции скорости происходит по закону:

v_y = v_0y – gt, (1.27)

2) Найти траекторию движения – это значит найти аналитическое уравнение кривой, по которой движется тело в пространстве, т.е. у(х).

Из (1.19) t = x/v₀ cos a, подставим в (1.25):

y = x tg a – . (1.28)

Уравнение (1.23) – уравнение параболы, ветви которой направлены вниз, центр параболы смещен относительно начала координат (рис.1.16).

3) Воспользуемся формулой (1.25) для определения времени полета тела. (рассмотрение движения вдоль оси Ох не позволит определить время полета, так как вдоль этой оси тело могло бы равномерно двигаться сколь угодно долго.) Приравняв у = 0 (координата тела по Оу в начале и конце полета), получим:

t(v₀ sin a – gt/2) = 0,

t₁ = 0, t₂ = (2v₀/g) sin a. (1.29)

Искомое время полета t_п = (2v₀/g) sin a.

4) Так как вдоль оси Ох движение равномерное и известно время движения (1.29), то

x_max = l = v_0xt_п = (v₀ cos a · 2v₀ sin a)/g = . (1.30)

5) Максимальную высоту подъема тела можно определить из формулы (1.28), подставив в нее время подъема t_под, которое можно определить по формуле (1.27), из условия, что v_y в наивысшей точке подъема равно 0:

0 = v_0y – gt_под,

t_под = (v₀/g) sin a.

Таким образом,

y_max = h_max = v_0yt_под – = ,

h_max = . (1.31)

Максимальную высоту подъема в этом случае можно также найти из следующих соображений. Парабола – симметричная кривая. Зная дальность полета, можно определить х-координату наивысшей точки подъема:

х = l/2 = sin a cos a.

Тогда, подставив х в уравнение траектории, получим

h_max = ,

h_max =

6) Чтобы найти нормальную и тангенциальную компоненты ускорения, воспользуемся тем, что тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории движения, а нормальное – по нормали к ней. Полное же ускорение, с которым движется тело во всех точках, одинаково и равняется ускорению свободного падения . Раскладываем на две составляющие в точках O и А (рис.1.17).

Рис.1.17

В точке O

a_0t = g sin a, a_0n = g cos a.

В точке А

a_tА = 0, a_nА = g.

Нормальное ускорение определяется по формуле

а_n = v²/R,

где R – радиус кривизны траектории в данной точке, т.е. радиус окружности, часть дуги которой совпадает с траекторией в данной точке. Отсюда R = v²/a_n.

В точке O

v = v₀, a_n = gcosa,

тогда R₀ =

В точке А v_y = 0, скорость имеет только x-компоненту:

v_A = v_0x = v₀cos a,

а нормальное ускорение в точке А (a_n = g). Отсюда

R_A = .

Задачи для самостоятельного решения

1. Мяч бросили вертикально вверх со скоростью v₀ = 5 м/с с высоты
h = 1,5 м. Определите: 1) время полета мяча до его падения на землю t_пол; 2) максимальную высоту подъема h_max; 3) конечную скорость v_к.Большинство задач на криволинейное движение является частным случаем этой общей задачи.

2. Определите полное ускорение автомобиля в конце поворота радиусом 10 м на угол 90°. Скорость в начале поворота v₁ = 72 км/ч, в конце v₂ = 36 км/ч. Считать касательное ускорение постоянным.

3. Тело брошено со скоростью 10 м/с под углом 60° к горизонту. Определите, на какой высоте касательное (тангенциальное) ускорение тела станет равным его центростремительному (нормальному) ускорению?

4. Вычислите угловую и линейную скорости орбитального движения спутника Земли, если период его обращения 121,16 мин, а высота полета 1700 км.

5. На наклонную плоскость с углом у основания 30° с высоты 1 м падает мяч. Длина наклонной плоскости 10 м. Сколько раз мяч ударится о наклонную плоскость, прежде чем соскочит с нее? Удар считать упругим.

6. Под углом 60° к горизонту бросают камень со скоростью 19,6 м/с. Определите центростремительное и касательное ускорения через 0,65 с после начала движения.