Вывод дифференциальных уравнений движения

идеальной жидкости и их интегрирование (уравнений Эйлера).

В потоке идеальной жидкости возьмем произвольную точку М с координатами x, y, z (рис.5.6) и выделим вблизи этой точки малый объем в форме прямоугольного параллелепипеда так, чтобы точка М была одной из его вершин. Пусть ребра этого параллелепипеда будут параллельны координатным осям и соответственно равны δх, δу и δz, тогда его объем равен δW = δх*δу*δz, а масса δМ= ρδхδуδz.

Составим уравнение движения этого объема. Действующая на объем результирующая массовая сила, может быть разложена на составляющие соответственно осям координат, и, будучи отнесена к массе объема, даст единичные массовые силы или проекции ускорений на оси: Х, У и Z.

Проекции массовых сил, действующих на выделенный объем, равны этим составляющим, умноженным на массу выделенного объема.

Если давление в точке М обозначить черезР, давление вдоль оси Х в точке N - будет сумой давления в точке М и приращения по координате Х.

Разность между значениями давлений в этих точках, умноженная на площадь даст нам силу, действующую вдоль оси Х

.

Принцип Д’Аламбера: При движении системы ее положение может рассматриваться, как положение равновесия, если к активным силам, действующим на систему, прибавить фиктивные силы(силы инерции).

Скорость движения жидкости в точке М обозначим через V , а ее проекции через V_х,V_yV_z. Проекции ускорения, с которыми движется выделенный объем, будут равны:V_х/dt,V_y/dt, V_z/dt.

По принципу Д’Аламбера силы, которые необходимо ввести в уравнения движения, равны произведению ускорений на массу параллелепипеда.

Уравнения движения выделенного объема жидкости в проекциях на координатные оси будут иметь вид

ρ*δхδyδz*(dV_х/dt) = Xρδхδyδz - (dp/dx)* δхδyδz;

{ ρ*δхδyδz*(dV_y/dt) = Yρδхδyδz - (dp/dy)* δхδyδz;

ρ*δхδyδz*(dV_z/dt) = Zρδхδyδz - (dp/dz)* δхδyδz;

гдеX,Y, Z– проекции единичных массовых сил.

Разделим эти уравнения почленно на массу элементаδm = ρ*δхδyδz и перейдем к пределу, устремляя одновременно δх, δyиδz к нулю и, стягивая параллелепипед к точке М, получим уравнения движения жидкости. Это система дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости, называемая уравнениями Эйлера.

(5.16)

Члены этих уравнений представляют собой соответствующие ускорения, а смысл каждого из уравнений заключается в следующем: полное ускорение частицы вдоль координатной оси складывается из ускорения от массовых сил и ускорения от сил давления.

Уравнения Эйлера в таком виде справедливы как для несжимаемой, так и для сжимаемой жидкости, а также для случая, когда из массовых сил действует только сила тяжести, и для общего случая относительного движения жидкости. При этом в величины Х, У и Z входят компоненты ускорения переносного движения. Так как при выводе уравнений (5.16) не накладывались условия стационарности движения, то они справедливы и для неустановившегося движения.

Рассматривая установившееся движение жидкости, умножим каждое из уравнений (5.16) на проекции элементарного перемещения по осям и сложим уравнения:

В проекциях на ось X:

В проекциях на ось Y:

В проекциях на ось Z:

Просуммировав эти проекции, получим:

(5.17)

Учитывая, что выражение в скобках является полным дифференциалом давления: .

Произведение проекции скорости на дифференциал скорости можно выразить следующим образом:

Уравнение (5.17) можно переписать в следующем виде

Xdx +Ydy + Zdz = (1/ρ)*(dp) + d(V²/2), (5.18)

или dU = (1/ρ)*(dp) + d(V²/2).

где U – силовая функция.

Интегрирование этого уравнения выполним для основного частного случая установившегося движения идеальной жидкости, когда на жидкость действует лишь одна массовая сила - сила тяжести. При направлении оси вертикально вверх

X = 0, Y= 0, Z = - g.

Подставляя эти значения в уравнение (5.17) получим

gdz + dp/ρ + d(V²/2) = 0 или dz + dp/(gρ) + d(V²/2g) = 0.

Так как для несжимаемой жидкости ρ = const, предыдущее уравнение можно переписать в виде

d(z + p/(gρ) + (v²/2g)) = 0

Это уравнение означает, что приращение суммы трех членов, заключенных в скобки, при перемещении частицы жидкости вдоль линии тока (траектории) равно нулю, следовательно, указанный трехчлен есть величина постоянная вдоль линии тока, а следовательно, и вдоль элементарной струйки, т. е.

z + p/(gρ) + (v²/2g) → const.

Таким образом, получили уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости, найденное в предыдущем параграфе другим способом.

Если записать это уравнение для двух сечений струйки 1-1 и 2-2, оно примет вид первой формы уравнения Бернулли:

= Н