Занятие № 6. Интегрирование тригонометрических функций
Цель занятия - научиться брать интегралы вида , где R- рациональная функция относительно
.
Интегралы вида J находили в конце прошлого занятия в примерах где использовались тригонометрические подстановки. Разобранные там примеры были достаточно простые. В общем же случае вопрос решает следующая теорема.
Теорема. Всякий интеграл J с помощью подстановки приводится к интегралу от рациональной дроби.
Доказательство.Из подстановки следует, что
. Кроме того, используем известные формулы тригонометрии:
.
После замены их значениями получим интеграл от рациональной дроби относительно t. Подстановка
в силу ее всеобщности называется универсальной тригонометрической подстановкой.
Пример. Найти интеграл .
Решение. После замены их значениями, получим
, где
,
.
Пример. Найти самостоятельно интеграл .
Универсальная подготовка (в силу ее всеобщности) зачастую приводит к рациональным дробям, интегрирование которых достаточно сложно и громоздко. Кроме того, во многих случаях к цели приводят более простые методы. Приведем некоторую классификацию частных случаев.
Интегралы вида .
Здесь возможны следующие случаи.
1. Оба показателя степени: m и n – четные положительные числа (один из них может быть нулем). Тогда к цели приводят так называемые формулы понижения степени:
.
Пример.Найти интеграл .
Так как и заменяем
.
После упрощений получим ,
.
2. Хотя бы одно из чисел m или n – нечетное положительное число. Тогда применяем метод отщепления от нечетной степени и используем формулы
.
Пример. Найти интеграл .
Решение.
.
Пример. Решите самостоятельно .
3. Если m и n – целые отрицательные числа одинаковой четности,то к цели
приводит метод отщепления.
Пример. .
Решение. .
4. В некоторых случаях эффективно использование тождества
или даже .
Пример.Найти интеграл .
Решение.
,
,
.
Интегралы вида ,
, где m – целое положительное число, находятся с помощью тождеств
,
.
Пример.
Пример. Найти интеграл .
Решение.
.
Следующие три интеграла берутся с помощью известных формул тригонометрии ,
,
.
Пример. Найти интеграл .
Решение.
,
.
Подстановка рекомендуется для нахождения интеграла
, а
также в тех случаях, когда в интеграле числа m и n - четные (положительные или отрицательные). Здесь используются известные формулы тригонометрии:
.
Пример.Найти интеграл .
Решение. ,
,
. Так как
, то окончательно
получим .
Замечание. Для интегралов где k- натуральное число, методом интегрирования по частям можно получать рекуррентные соотношения, приведенные в таблице интегралов.
Решить самостоятельно
,
.
Выше были рассмотрены основные приемы и формулы для нахождения неопределенных интегралов. Следует отметить, что многие функции не интегрируются в конечном виде. Так, например, функция непрерывна в промежутке
, однако, интеграл от нее
(интегральный синус) не выражается в конечном виде через элементарные функции. То же самое относится к
интегралам (интегральный косинус),
(интегральный
логарифм).
Замечание. Во многих случаях заданный интеграл может быть найден различными способами. Так, например, интеграл
с помощью подстановки
дает
, где
,
. С другой стороны, если возьмем подстановку
, то
.
Поэтому .
Окончательно . Этот результат лишь формой отличается от предыдущего, так как
.