Занятие № 4. Интегрирование рациональных дробей
Цель занятия – научиться разлагать рациональные дроби на простейшие, научиться интегрировать простейшие рациональные дроби.
Изучив оба метода интегрирования: замену переменной и интегрирование по частям, перейдем к нахождению интегралов от различных классов элементарных функций.
Определение. Рациональной дробью называется отношение двух многочленов:
.
В последующем постоянно предполагается, что дробь несократима, т.е. многочлены
не имеют общих корней. Рациональная дробь
называется правильной, если
, и неправильной, если
. Рассмотрим несколько примеров.
.
Здесь дробь правильная, так как
; дробь
также правильная, так как
; дробь
неправильная, так как
. Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель, можно получить целую часть этой дроби – многочлен степени
, плюс некоторую правильную рациональную дробь. Таким образом, неправильная рациональная дробь представлена в виде
, где
- многочлен степени
, а
- правильная рациональная дробь.
Пример.Выделить целую часть дроби .
Делим числитель на знаменатель «углом»:
.
Замечание. В простейших случаях, когда, например, , эту работу можно выполнить быстрее:
,
.
Поскольку интегрирование многочлена не представляет труда, то по существу, дело сводится к интегрированию правильных рациональных дробей. Для этого потребуются некоторые новые понятия.
Хорошо известно, что квадратный трехчлен с вещественными корнями разлагается на линейные множители:
.
В общем случае многочлен степени n разлагается на произведение линейных и квадратных множителей вида
,
причем указанные трехчлены не имеют вещественных корней. При этом говорят, что корень - простой, корень
имеет кратность к.
Примеры
Многочлен имеет простые вещественные корни
.
Решение. Многочлен имеет вещественный простой корень
; двукратный корень
.
Определение. Следующие рациональные дроби называются простейшими первого, второго, третьего и четвертого типов:
.
Здесь - заданные числа,
.
В последующем постоянно предполагается, что трехчлен не имеет
вещественных корней и, следовательно, не разлагается на линейные множители.
Примеры. Рассмотрим дроби
.
Здесь - дробь первого типа, причем
- дробь второго типа, где
.
- дробь третьего типа, где
, причем трехчлен
вещественных корней не имеет. Дробь
принадлежит к четвертому типом, где
.
Дроби и
принадлежат соответственно к первому и второму типам, причем
.
Теорема о разложении рациональной дроби. Всякая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших дробей первого – четвертого типов. При этом если - простойвещественный корень знаменателя
, то в разложении ему соответствует дробь первого типа
; если
- вещественный корень кратностью k, то в разложении ему соответствует сумма k дробей первого и второго типов:
; если в знаменателе
имеется трехчлен
без вещественных корней, то в разложении дроби ему соответствует дробь третьего типа
; если, наконец, знаменатель
содержит множитель
, то в разложении ему соответствует сумма «k» дробей третьего и четвертого типов:
.
Таким образом, разложение дроби существенно зависит от того, какие корни имеет знаменатель
. Поэтому разложение рекомендуется проводить по следующей схеме.
1. Найти все корни знаменателя и определить их кратность.
2. Написать разложение на линейные и квадратные множители.
3. Написать сумму простейших дробей в соответствии с полученным разложе-нием знаменателя.
Пример 1. Разложить дробь .
Решение. Здесь знаменатель имеет разложение
. Отсюда следует, что
- простой вещественный корень, ему соответствует дробь
;
- вещественный двукратный корень, ему соответствует сумма дробей
. Поэтому данная дробь представлена суммой
.
Пример 2. Разложить дробь .
Решение. Здесь , причем трехчлен вещественных корней не имеет, поэтому
.
Пример 3.Разложить дробь .
Решение. Здесь знаменатель
имеет вещественные простые корни: . Двучлен
веществен-ных корней не имеет: если
, то
. Поэтому разло-жение дроби имеет вид
.
Теперь перейдем к нахождению неопределенных коэффициентов разложения: А, В, С,…. Существуют два способа их определения. Поскольку оба способа достаточно простые, рассмотрим их на конкретных примерах.
Первый способ. Дробь представлена в виде
.
Поскольку здесь знаменатели равны, то должны быть равны и числители.
. Имеет место равенство двух многочленов, которое выполняется тождественно, т.е. при любых значениям «х».
Пусть, например, при
при
. Таким образом, получили разложение дроби
.
Замечание. Нахождение неопределенных коэффициентов А, В, С, … упрощается, если в качестве значений «х» брать корни знаменателя.
Второй способ покажем на следующем примере:
,
. В правой части раскроем скобки и приведем подобные члены, тогда
или
. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х и свободные члены, получаем систему линейных уравнений относительно А, В, С:
. Решив эту систему способом подстановки (или по формулам Крамера), получим
. Подставим эти значения во второе равенство:
. Получаем разложение дроби
.
Замечание. Результат вычислений всегда можно проверить. Так, в последнем примере .
Упражнение. Разложить на простейшие дробь . Разложив дробь
на простейшие и проинтегрировав полученное равенство, получим в правой части (в общем случае) сумму следующих четырех интегралов:
Первый из них по существу табличный: . Второй интеграл степенной:
.
Третий интеграл был рассмотрен выше.
Рассмотрим подробнее интеграл ,
. Так как
, чи-слитель представляем в виде
,
. Интеграл
степенной, так как
.
Для нахождения интеграла выделим из трехчлена полный квадрат:
.
Тогда . Этот интеграл находится с помощью рекуррентного соотношения (15). Впрочем интеграл может быть найдем с помощью тригонометрической подстановки
.
Пример. Найти интеграл .
Решение.Так как , получим
.
Тогда
.
. Полагая в формуле (15)
, получим
, где
,
. Окончательно находим
Для сравнения найдем , где
с помощью подстановки
. Тогда
. Поэтому
. Так как
, получим
,
. Из подстановки следует, что
,
,
.
Решить примеры
.