Занятие № 3. Интегрирование по частям
Цель занятия – научиться пользоваться формулой и применять ее к каждому из рассмотренных ниже классов функций.
Если заданный интеграл не может быть найден рассмотренными выше способами, то подынтегральное выражение
разбивают на два сомножителя (u и dv) таким образом, чтобы интеграл
был табличным или сводился к табличному. Единого правила для этого не существует, однако можно провести некоторую классификацию интегралов, которые берутся по частям.
1. Интегралы, содержащие произведение многочлена на тригонометрические или показательные функции. Более точно к первому классу относятся интегралы вида
Так как интегралы от по существу табличные, то в этих примерах мешает интегрированию многочлен
. От него можно освободиться путем n-кратного дифференцирования, так как при каждом дифференцировании степень многочлена понижается на одну единицу. Поэтому во всех примерах в качестве функции u берут многочлен, т.е. полагают, что
. Приведем примеры.
,
Окончательно можно записать:
,
.
Замечание. Обратите внимание, что здесь был дан одночлен второй степени,
т. е. . Поэтому формула интегрирования по частям применялась дважды.
2. Так называемые циклические интегралы.К ним относятся интегралы вида
.
В интегралах и
надо дважды применить формулу интегрирования по частям, причем разбиение подынтегрального выражения на u и dv можно выполнить
по-разному. Найдем, например, интеграл .
.
Повторяем этот процесс.
.
.
Здесь в правой части находится исходный интеграл .
. Решив это уравнение относительно
, найдем
,
,
.
Аналогично доказывается, что интеграл определяется формулой
. Для нахождения интегралов
достаточно один раз применить формулу интегрирования по частям, а затем воспользоваться формулами тригонометрии. Например,
Так как , то
, поэтому
,
.Отсюда следует, что
. Как видно, циклические интегралы находятся довольно громоздким способом, поэтому они внесены в таблицу интегралов под номерами (11) – (14).
3. К третьему классу относятся некоторые интегралы, содержащие аркусы или логарифмы в сочетании с многочленами:
Так как в таблице нет интегралов от аркусов или логарифмов, то эти функции надо «убить» с помощью дифференцирования. Поэтому в качестве функции u берем
.
,
Полученный интеграл снова берем по частям.
Окончательно получаем ,
.
Замечание. Указанные три класса не исчерпывают многообразия всех случаев применения формулы интегрирования по частям. Например, интеграл относится к числу циклических. Действительно, полагая
получим
.
Полученный интеграл снова находим по частям
.
Итак, .
Отсюда ,
.
Замечание. Во многих случаях приходится применять оба способа – замену переменной и интегрирование по частям, например,
.
Интегрируя по частям трижды, находим, что
. После подстановки
.