Занятие № 1. Интегрирование по формулам
Цель занятия – усвоить и запомнить формулы 1-4 групп, прежде всего формулы (1) - (3) интегралов от степенных функций. Основная формула (1)
, показывает, что при интегрировании степени ее
показатель возрастает на одну единицу. Так, например,
.
Приведем более сложный пример:
.
Здесь воспользовались известным разложением .
Разделив числитель на знаменатель, получим
,
,
,
.
Интеграл можно найти двумя способами. Так как
, по свойству 8 при
и
находим
.
Другой способ. Полагая здесь , получим
Говорят, что интеграл поправлен на 1/7, иначе говоря, под знак дифференциала подведено основание7х – 5, чтобы получить точно табличную формулу (1).
Рассмотрим интеграл . Полагая здесь
,
, получим
. Формулы (2) и (3) суть частные случаи основной формулы (1) при
и
. Их рекомендуется запомнить, так как они будут часто встречаться в последующем. Приведем примеры.
Так как ,
(по свойству 6 неопределенного интеграла),
(свойство 8). Аналогично
,
, поскольку
. Во- обще свойства 6 - 8 неопределенного интеграла надо хорошо усвоить. Это позволяет находить простейшие интегралы самым коротким способом. Приведем еще несколько примеров.
, так как здесь
.
, так как здесь
.
, так как здесь
.
, так как здесь
.
Теперь обратимся к формуле (4): . Она применяется в тех случаях, когда в числителе стоит дифференциал знаменателя, точнее, когда в числителе может быть получен дифференциал знаменателя. Приведем примеры.
. Так как
, то
,
.
Рассмотрим интеграл от показательной функции и ее частный, но очень важный случай - интеграл от экспоненты:
(свойство 6),
(свойство 8),
Здесь
, поэтому
,
. Здесь
, поэтому
.
Замечание.Поскольку операция интегрирования является обратной по отноше-нию к операции дифференцирования, полученный ответ всегда можно проверить. Для этого его надо продифференцировать и показать, что получится подынтеграль-ная функция. Так, в последнем примере .
Обратимся к интегрированию гиперболических функций.
Найти интеграл .
Так как , получим
.
Найти интеграл .
Упражнения (устно)
Дайте ответы в следующих примерах.
.
Упражнение
Найти следующие интегралы.
Задание на дом
Занятие № 2. Интегрирование по формулам. Способ подстановки
Цель занятия – усвоить шестую группу формул; овладеть методом замены переменной; научиться брать интегралы, содержащие квадратный трехчлен.
1.К шестой группе формулотносятся интегралы функций
где
. В каждом примере надо определить, чему равно
и
, найти
и сделать необходимую поправку. Обратите внимание на форму записи.
Примеры.
.
Последний интеграл степенной, так как , если
, поэтому
.
.
Первый интеграл степенной: , где
. Второй интеграл также степенной, его можно найти в примере
. Поэтому
.
Упражнение. Решить примеры.