Признаки сходимости интегралов 2-го рода.
Для определенности будем рассматривать несобственные интегралы 2-го рода вида =
.Установленные ниже утверждения легко переносятся на несобственные интегралы 2-го рода вида
=
и
=
+
.
Теорема 1.Пусть с – любое число, удовлетворяющее условию a<c<b. Тогда несобственные интегралы и
сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство. Возьмем произвольное число b, удовлетворяющее условию с<b<b. Имеем =
+
(4)
1) Пусть сходится Þ существует конечный предел
. Но тогда из (4) Þ, что существует конечный предел
Þ
сходится.
2) Пусть сходится Þ существует конечный предел
. Но тогда из (4) Þ, что существует конечный предел
Þ
сходится.
В случаях 1) и 2) будем имеем: =
+
.
3) Пусть расходится. Покажем, что и
расходится.
Допустим, что сходится. Тогда по пункту 1) должен сходится и
. Получили противоречие.
4) Пусть расходится. Покажем, что и
расходится.
Допустим, что сходится. Тогда по пункту 1) должен сходится и
. Получили противоречие. Ч.т.д.
Теорема 2. Если f(x)³0 хотя бы для xÎ[с;b) (а£с<b), то для сходимости интеграла (а значит и интеграла
) необходимо и достаточно, чтобы существовало число K>0 такое, что
£К, для любого bÎ(с;b).
Доказательство. Интеграл =j(b), т.е. представляет собой функцию от b, возрастающую с увеличением b. Для существованию конечного предела у функции j(b) при b®b-0 необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху, т.е. чтобы существовало число K>0 такое, чтобы j(b)=
£К, для любого bÎ(с;b). Ч.т.д.
Теорема 3 (1-й признак сравнения несобственных интегралов).
Пусть хотя бы для хÎ[с;b) (а£с<b) функции f(x) и g(x) удовлетворяют условию 0≤f(x)≤g(x). Тогда:
1) из сходимости интеграла (5) следует сходимость интеграла
(6)
2) из расходимости интеграла следует сходимость интеграла
.
Доказательство. Возьмем произвольное число b, такое, что с<b<b
Тогда 0£ £
(7).
1) Пусть сходитсяÞ
сходитсяÞ существует число K>0 такое, что
£К "bÎ(с;b). Но тогда из (7) следует, что
£К "bÎ(с;b). Þпо теореме 2:
- сходитсяÞ
- сходится.
2) Пусть - расходится. Нужно доказать, что расходится и
. Допустим противное, что
сходится. Тогда по пункту 1) должен сходится и
. Получили противоречие. Ч.т.д.
Теорема 4. (б.д.) (2-й признак сравнения).Пусть f(x)>0 и g(x)>0 хотя бы для хÎ[с;b) (а£с<b). Пусть существует конечный, отличный от нуля предел
l= (l¹0, l¹¥).
Тогда интегралы и
сходятся или расходятся одновременно.
Для применения теорем 3 и 4 требуется знание некоторой «эталонной» функции g(x). Часто в этой роли выступает функция g(x)= (р>0, xÎ[a,b), a<b).
Пример. Исследуем на сходимость интеграл .
1) Пусть р<1. Тогда
=
=
Þ
=
Þ
Þ сходится при р<1.
2) Пусть р=1. Тогда =
=ln(b-a)-ln(b-b)Þ
=+¥Þ
Þ расходится при р=1.
3) Пусть р>1. Тогда
=
=
Þ
=+¥Þ
Þ расходится при р>1.
Пример.Исследовать на сходимость интеграл I= .
Подынтегральная функция разрывна в точке х=0.
<
, здесь р=
<1, следовательно
сходится. Значит сходится и интеграл от меньшей функции, т.е.
.
Пример. Исследовать на сходимость интеграл I= .
f(x)= определена в промежутке [0,1] всюду, за исключением точек х=0 и х=1. (эти точки – особые). Представим I в виде суммы двух интегралов:
I= +
=I1+I2.
Рассмотрим I1= . У этого интеграла 1 особая точка х=0. Имеем
=
= - ¥Þ f(x) неограниченная в правой полуокрестности точки х=0. Значит I1 – несобственный интеграл 2-го рода.
Т.к. f(x)= ~ln x при х®+0, то в качестве функции g(x) возьмем g(x)=ln x. Тогда
=
=
=1.
Следовательно, несобственные интегралы и
в смысле сходимости ведут себя одинаково.
=
=
=
=
= -
=
-0=
.
Т.о. сходится. Значит и I1 сходится.
Рассмотрим I2= . У этого интеграла 1 особая точка х=1. Имеем
=
=
=
=
Þ f(x) ограниченная в промежутке
. Положим
Функция ограничена на
Þ
существует. Следовательно, I2=
сходится.
Т.к. несобственные интегралы I1 и I2 сходятся, то сходится и интеграл I= .