Е.Р.Ляликова, В.П.Подпорин, С.В.Фоменко

Ростовский Государственный Университет

Е.Р.Ляликова, В.П.Подпорин, С.В.Фоменко

Интегральное исчисление

Функций одной и двух переменных.

Методические указания для студентов

Дневного отделения

экономического факультета РГУ

Ростов-на-Дону 2004

Печатается в соответствии с решением кафедры математического анализа Ростовского государственного университета, протокол № от 7февраля 2004 года.

Интегральное исчисление является второй частью курса математического анализа, непосредственно следующей за дифференциальным исчислением. Само понятие интеграла является фундаментальным понятием математического анализа. Это понятие возникло, с одной стороны, из потребности решать задачи на вычисление площади, объема, работы переменной силы, центра тяжести и так далее, с другой – из необходимости находить функции по их производным.

В соответствии с этим возникли понятия неопределенного и определенного интегралов.

1. Неопределенный интеграл.

Основные свойства неопределенного интеграла.

1). Если функция дифференцируема на промежутке Е, то

а .

2). Если функция имеет на промежутке Е первообразную, то

.

3). Если функция имеет первообразную на промежутке Е, то

.

4). Если функции и имеют первообразные на промежутке Е, то

.

Заметим, что свойства 1 и 2 означают, что операции дифференцирования и интегрирования являются взаимно обратными, а поэтому взаимно уничтожают друг друга (если не учитывать постоянного слагаемого).

Основные методы интегрирования.

Непосредственное интегрирование.

Вычисление интегралов с помощью таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием.

Пример 1.4. Вычислить .

Применив свойства 3) и 4), имеем

Далее, используя соответственно формулы 1,2,3,6,10 таблицы основных интегралов, находим:

.

Заметим, что произвольные постоянные не записываются для каждого интеграла а в конце ставится постоянная С, которая является суммой всех произвольных постоянных.

Пример 1.5. Вычислить .

По формуле 9, где , получаем .

Пример 1.6. Вычислить .

Интеграл не табличный, поэтому преобразуем его. Так как , то интеграл можно записать в виде:

.

Применяя свойство 4) и формулы 7, 8, находим

.

Пример 1.7. Вычислить .

Так как , то

(здесь мы применили формулы 2 и 9 ( ) ).

Упражнения

1.1. Применяя метод непосредственного интегрирования, вычислить интегралы (в скобках указаны ответы):

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20) .

Упражнения.

1.2. Вычислить интегралы (в скобках указаны ответы):

1). ;

2). ;

3). ;

4). ;

5). ;

6). ;

7). ;

8). ;

9). ;

10). ;

11). ;

12). ;

13). ,

14). ,

15). ,

16). ,

17). ,

18). ;

19). ;

20). ;

21). ;

22). ;

23). ;

24). ;

25). ;

26). ;

27). ;

28). ;

29). ;

30). ;

31). .

Упражнения.

1.3 С помощью метода интегрирования по частям вычислить интегралы (в скобках указаны ответы).

1). ;

2). ;

3). ;

4). ;

5). ;

6). ;

7). ;

8). ;

9). ;

10). ;

11). ;

12). ;

13). ;

14). ;

15). .

Упражнения.

1.4. Вычислить интегралы (в скобках указаны ответы).

1). ;

2). ;

3). ;

4). ;

5). ;

6). ;

7). ;

8). ;

9). ;

10). ;

11). ;

12). ;

13). ;

14). ;

15). .

1.5. Нахождение интегралов вида .

Отметим, что R обозначает рациональную функцию своих аргументов и . Эти интегралы сводятся к интегралам от рациональной функции с помощью так называемой универсальной подстановки .

Так как , то . .

.

Пример 1.27. Вычислить

.

Однако на практике универсальная подстановка часто приводит к слишком сложным и трудоемким выкладкам, поэтому наряду с универсальной подстановкой полезно знать и другие постановки, которые во многих случаях быстрее приводят к цели.

Если функция нечетна относительно , то есть , то рационализация интеграла достигается с помощью подстановки .

Если функция нечетна относительно , то используется подстановка .

Если функция четна относительно и , то есть , то целесообразна подстановка .

Пример 1.28. Вычислить

.

Пример 1.29. Вычислить

.

Иногда при вычислении интегралов указанного вида бывает полезно прибегать и к другим искусственным приемам, используя известные тригонометрические формулы, как, например, формулу .

Пример 1.30. Вычислить

.

Замечание 1. Если в интеграле вида оба показателя степени m и n положительны и четны, то целесообразно применять формулы

,

которые приводят данный интеграл к интегралу с меньшими неотрицательными показателями.

Замечание 2. Интегралы вида непосредственно вычисляются с помощью формул: ,

,

.

Пример 1.31. Вычислить

.

Упражнения.

1.5. Вычислить интегралы (в скобках указаны ответы).

1). ;

2). ;

3). ;

4). ;

5). ;

6). ;

7). ;

8). ;

9). ;

10). ;

11). ;

12). ;

13). ;

14). ;

15). ;

16). ;

17). ;

18). ;

19). ;

20). ;

21). ;

22). ;

23). .

Определенный интеграл

2.1. Определение определенного интеграла. Пусть функция определена на отрезке . Разобьем отрезок на произвольных частей точками . В каждом из полученных частичных отрезков выберем произвольную точку и составим сумму , где . Эта сумма называется интегральной суммой для функции на . Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка разбиения: .

Определение 2.1. Если существует конечный предел интегральной суммы при и он не зависит от выбора точек , то этот предел называется определенным интегралом от функции по отрезку и обозначается следующим образом:

.

В этом случае функция называется интегрируемой на . Числа и называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, -- подынтегральной функцией, --переменной интегрирования.

Для интегрируемости функции достаточно ее непрерывности на . В дальнейшем будем предполагать, что рассматриваемые функции непрерывны на .

Формула Ньютона-Лейбница

Если функция непрерывна на отрезке и функция является некоторой ее первообразной на этом отрезке, то имеет место формула Ньютона-Лейбница . Введем обозначение для разности .

Тогда .

Пример 2.1. Вычислить .

Так как одна из первообразных для функции является функция , то применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем

.

Упражнения

2.1. Вычислить интегралы (в скобках указаны ответы):

1). ; 10). ;

2). ; 11). ;

3). ; 12). ;

4). ; 13).

5). ; 14).

6). ; 15). ;

7). ; 16). ;

8). ; 17). ;

9). ; 18). .

Упражнения

2.2. Найти площади фигур, ограниченных линиями:

1). 7).

2). 8).

3). 9).

4). 10).

5). 11).

6). 12).

13). Осью ОХ и одной аркой циклоиды

14). Астроидой

15). 16).

17). .

Формулы длин плоских кривых

, (2.5)

где -- длина дуги кривой, заданной уравнением (функция непрерывна на вместе со своей производной).

(2.6)

где -- длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями (функции и имеют непрерывные производные на , ).

(2.7)

где -- длина дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением (функция имеет непрерывную производную на ).

Пример 2.12. Найти длину полукубической параболы , отсеченной прямой .

Данная кривая симметрична относительно оси ОХ. Мы вычислим длину дуги одной ветви кривой например, верхней) и результат удвоим. Из уравнения кривой . Следовательно, по формуле (2.5) получим:

.

Пример 2.13. Найти длину дуги одной арки циклоиды .

Циклоида --- плоская кривая, которую описывает точка М окружности радиуса , катящейся без скольжения по оси ОХ из начала координат. Из уравнения циклоиды находим .

Когда пробегает отрезок , параметр пробегает отрезок . Следовательно, по формуле (2.6) имеем:

.

Пример 2.14. Найти длину дуги кардиоиды (см. рис. в примере 2.11).

Так как кривая симметрична относительно полярной оси, то для полярный радиус описывает половину кривой. Тогда, если учесть, что , формула (2.7) дает:

.

Упражнения

Найти длину дуги кривой.

1).

2).

3).

4).

5).

6).

7).

8). Астроиды

9).

10). Кардиоиды .

Формулы объемов тел вращения

(2.8)

где -- объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции вокруг оси ОХ.

(2.9)

где -- объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции вокруг оси ОУ.

Пример 2.14. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной линиями .

Изобразим тело вращения. По формуле (2.8)

.

Пример 2.15. Найти объем тела, образованного вращением эллипса вокруг оси ОУ.

Так как эллипс симметричен относительно осей координат, то достаточно найти половину искомого объема и результат удвоить. По формуле (2.9) имеем

Упражнения

2.3. Найти объемы тел, образованных вращением фигуры, ограниченной линиями:

1). вокруг: а) оси ОХ; б) оси ОУ. .

2). вокруг оси ОХ.

3). вокруг: а) оси ОХ; б) оси ОУ.

4). вокруг: а) оси ОХ; б) оси ОУ.

5). вокруг: а) оси ОХ; б) оси ОУ.

6). вокруг: а) оси ОХ; б) оси ОУ.

7). вокруг: а) оси ОХ; б) оси ОУ. .

Эскизы графиков некоторых кривых ( для справок).

3 Несобственные интегралы

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (несобственные интегралы первого рода)

Пусть функция непрерывна на промежутке , тогда она непрерывна на любом промежутке и существует .

Определение 3.1. Если существует конечный предел , то говорят, что функция интегрируема на в несобственном смысле, величину обозначают символом и называют сходящимся несобственным интегралом первого рода.

В противном случае говорят, что несобственный интеграл первого рода расходится.

Аналогично, ; , где -- любое число.

Пример 3.1. Исследовать сходимость .

По определению имеем

,

то есть несобственный интеграл первого рода сходится и равен .

Пример 3.2. Исследовать сходимость .

1) Если , то 2) Если , то .

Таким образом, данный интеграл сходится при и расходится при .

Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода)

Пусть функция непрерывна на промежутке и не ограничена слева от точки (ее называют особой точкой). Очевидно, что функция непрерывна на любом промежутке , заключенном в .

Определение 3.2. Если существует конечный предел , то говорят, что функция интегрируема на в несобственном смысле, величину обозначают символом и называют сходящимся несобственным интегралом второго рода.

В противном случае говорят, что несобственный интеграл второго рода расходится.

Аналогично, если -- особая точка, то, по определению, . Если внутренняя точка -- точка -- особая, то . Наконец, если и -- особые точки, то несобственный интеграл определяется как сумма: , где -- любая точка из .

Пример 3.3. Исследовать сходимость .

Точка -- особая для подынтегральной функции , она не ограничена в окрестности . На любом отрезке функция непрерывна, поэтому, по определению, имеем .

Следовательно, интеграл сходится.

Пример 3.4. Исследовать сходимость .

Подынтегральная функция не ограничена в окрестности точки , поэтому точка особая.

1) Пусть . Тогда, по определению,

2) Если , то .

Таким образом, данный интеграл сходится при и расходится при .

Упражнения

3.1. Исследовать на сходимость и вычислить в случае сходимости следующие несобственные интегралы (в скобках указаны ответы):

1) ; 10) ;

2) ; 11) ;

3) ; 12) ;

4) ; 13) ;

5) ; 14) ;

6) ; 15) ;

7) ; 16) ;

8) ; 17) ;

9) ; 18) .

Упражнения

3.2. Исследовать сходимость следующих несобственных интегралов.

1) ; 9) ;

2) ; 10) ;

3) ; 11) ;

4) ; 12) ;

5) ; 13) ;

6) ; 14) ;

7) ; 15) ;

8) ; 16) .

Упражнения

3.3. Исследовать следующие несобственные интегралы на сходимость:

1) ; 8) ;

2) ; 9) ;

3) ; 10) ;

4) ; 11) ;

5) ; 12)

6) ; 13) ;

7) ; 14) .

Двойной интеграл

Вопросы для самопроверки

а) Сколько интегральных сумм можно составить для данного способа разбиения области ?

б) Приведите пример функции, для которой величина интегральной суммы не зависит ни от способа разбиения области , ни от выбора точек .

в) Как выразится объем цилиндрического бруска, ограниченного сверху поверхностью , а снизу – поверхностью , если проекцией обеих поверхностей на плоскость OXY является область ?

Упражнения

4.1. Изменить порядок интегрирования.

1) 7)

2) 8)

3) 9)

4) 10)

5) 11)

6) 12)

13) .

4.2. Вычислить двойные интегралы (указаны линии, ограничив