ПОВИ-2 по замкнутым поверхностям. Формула Астроградского.
Вычисление поверхностного интеграла II рода сводится к вычислению двойного интеграла по плоской области.Справедлива следующая формула, сводящая вычисление интеграла (3.4) к вычислению двойного интеграла:
где - проекции поверхности
на плоскость
,
- нормальный вектор к поверхности
, которая задана функцией
. Причем в двойном интеграле переменную
надо заменить на
.
Поверхностный интеграл II рода в формуле (3.4) можно записать иначе:
. Пусть функция
непрерывна во всех точках поверхности
, которая задана непрерывной функцией
в замкнутой области
-проекции поверхности
на плоскость
. Тогда справедлива следующая формула:
При этом перед двойным интегралом берется знак «+», если , и знак «-», если
.
Если поверхность задана непрерывной функцией в замкнутой области
- проекции поверхности
на плоскость
. Тогда справедлива следующая формула:
При этом перед двойным интегралом берется знак «+», если , и знак «-», если
.
Если поверхность задана непрерывной функцией в замкнутой области
- проекции поверхности
на плоскость
. Тогда справедлива следующая формула:
.
При этом перед двойным интегралом берется знак «+», если , и знак «-», если
.
Понятие скалярного поля. Поверхности и линии уровня.
Полем называется область пространства, в каждой точке которой определено значение некоторой величины.Если каждой точке
этой области определено число
, говорят, что в области определено (задано) скалярное поле или функция точки. Иначе можно сказать, что скалярное поле – это скалярная функция
вместе с ее областью определения.Если каждой точке
области пространства соответствует некоторый вектор
, то говорят, что задано векторное поле или векторная функция точки.Если функция
или
не зависят от времени, то скалярное или векторное поле называется стационарным (или установившимся). Поле, которое меняется с течением времени (например, меняется скалярное поле температуры при охлаждении тела), называется нестационарным (или неустановившимся).
Скалярное поле
Если в области задана скалярная функция точки
, то говорят, что в этой области задано скалярное поле.Если
- область трехмерного пространства, то скалярное поле
можно рассматривать как функцию трех переменных
- координат точки
, т.е.
.
Если скалярная функция зависит только от двух переменных
и
, то соответствующее скалярное поле
называют плоским.
В дальнейшем будем предполагать, что скалярная функция - определяющая скалярное поле, непрерывна вместе со своими частными производными.Для наглядного представления скалярного поля используют поверхности и линии уровня.
Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое место точек, в которых функция принимает постоянное значение, т.е.
.
В случае плоского поля
равенство
представляет собой уравнение линии уровня поля – линии на плоскости
, в точках которой функция
сохраняет постоянное значение.
Пусть скалярное поле задано функцией , где значения
откладываются по оси . Линиями уровня на плоскости
будут проекции линий, которые получаются в пересечении поверхности
с плоскостями
(см. рисунок).
Линии уровня применяются в математике при исследовании поверхностей методом сечений.
Свойства Grad :
1) Производная в данной точке по направлению вектора имеет наибольшее значение, если направление вектора
совпадает с направлением градиента, когда
, т.е. при
; это наибольшее значение производной равно
.Таким образом, направление градиента есть направление наискорейшего возрастания функции. В противоположном направлении функция будет быстрее всего убывать.
- наибольшая скорость изменения функции
в точке
.
2) Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору , равна нулю.
3) Градиент функции в каждой точке направлен по нормали к поверхности уровня скалярного поля, проходящего через эту точку.
4) .
5) , где
.
6) и др.