Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц

Диф-ное ур-ние второго порядка имеет вид Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru . Опред: Общ реш ур-ния второго порядка наз такая ф-ция Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru , кот при люб значениях Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru и Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru явл решением этого ур-ния. Определение. Линейн однородн ур-ием второго порядка наз ур-ие Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru . Если коэффиц Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru и Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru пост, т.е. не завис от Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru , то это ур-ие наз ур-ием с пост коэффиц и запис его так: Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru .

Лин неоднор ур-ие 2 порядка со спец прав частью

Ур-ие вида y" + py' + qy = f(x), где р и q —вещественныеные числа,f(x)—непрерывн ф-ция, наз линейн неоднородн ур-ием втор порядка с пост коэффиц. Общ реш ур-ния представл собой сумму частн реш неоднородн ур-ния н общ реш соответствующ однородн ур-ия. Нахождение общ реш однородного ур-ния изучено. Для нахождения частн реш воспользуемся методом неопред коэффиц, не содержащим проц интегрирования.

Системы диф ур-ий

Линейн однородн сист с пост коэффиц наз сист диф-ных ур-ний вида:

Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru i=1,2,…,n, (11)

где коэффиц-ты Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru - пост, Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru - искомые ф-ции от t.. Сист (11) можно коротко запис ввиде одного матричн ур-ния Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru (12), где

Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru .

Теорема. Если сист частных реш однородного ур-ния (12) явл фундаментальной, то общ реш этого ур-ния имеет вид Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru ,

где Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru – произвольн постоян.

Рассмотрим сист диф-ных ур-ий
y'1 = f1(x, y1, y2 , ..., yn),
y'2 = f2 (x, y1, y2 , ..., yn),
..............................
y'n = fn (x, y1, y2 , ..., yn),
где x — независ переменная, а
y1(x), y2(x), ..., yn(x) — неизвестн ф-ции, n — порядок сист. Обозначив
Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru
запишем сист в векторной форме
Y '=F(x,Y ).Решением систназ вектор-ф-ция Y , кот определена и нерерывно дифференцируема на интервале(a, b)и удовлетворяет системе, т.е. для всех x0 (a, b) справедливо
Y '(x) =F(x,Y (x)).

Числ ряды. Сходимость и сумма

Числ ряд — это числ послед-ть, рассматриваемая вместе с др послед-тью, кот наз послед-тью частичных сумм (ряда). Рассматриваются числ ряды двух видов. Вещественные числ ряды — изуч в мат анализе;

комплексные числ ряды — изуч в комплексн анализе;

Важнейш вопрос исследования числ рядов — это сходимость числ рядов. Числ ряды применяются вкачестве системы приближений к числам.

Пусть заданы сходящ ряды Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru и Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru . Тогда: Их суммой наз ряд Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru

Их произв по Коши наз ряд Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru , где Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru

Если оба ряда сходятся, то их сумма сход, если оба ряда сход абсолютно, то их сумма сход абсолютно. Если хотя бы один из рядов сход абсолютно, то произвед рядов сходится.

Признаки сходимости рядов с положит членами

На послед-ти Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru построим частичные суммы Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru . Cимвол Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru , обозначающ предел частичн сумм ( Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru ), наз рядом, где Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru -- общ член ряда.Ряд - знакоположительн, если все Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru .

Замечание1.В матанализе доказывается, что знаконеотрицательн ряд сходится =>частичн суммы ограничены.

Док-во след из теоремы Вейерштрасса о том, что огранич монотонная послед-ть имеет предел.

Лемма 1. Если Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru , то из сходимости Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru след сходимость Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru , а из расходимости Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru след расходимость Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru . Док-во. Рассмотр частичн суммы рядов (обозначим их Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru и Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru ). Если Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru сходится, то постед-ть Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru огранич, а раз Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru , то Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru тоже ограничена, т.е. Линейные однор ур-ия 2 порядкас пост коэфиц - student2.ru также cходится. Из этого же неравенства следует утверждение о расходимости.

Наши рекомендации