Интегрир почастям в неопр интегр
Интегр-ние почастя́м—один изспособов нахожд интегр.Суть метода:если подынтегральнф-ция может быть представл ввиде произвед двух непрерывныхи гладк ф-ций(кажд из кот может быть как элементарнф-цией, так и композицией),то справедливы след ф-лы для неопред интеграла:
для опред:
Замена переменной в неопред
Замены перем и интегрирован по частям для опред интеграла, обычно позвол упростить запись решения. ТЕОР. Пусть ф-ция φ(t) имеет непрерывн производн на отрезке [α,β], а=φ(α), в=φ(β) и ф-ция f(х) непрерывна в кажд точке х вида х=φ(t), где t [α,β]. Тогда справедливо след равенство:
Эта ф-ла носит назв ф-лы замены перем в опред интеграле.
Подобно тому, как это было вслучае неопред интеграла, исп замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к табличному (табличным). При этом в отличие от неопред в данном случае нет необход-ти возвращ к исходн переменной интнегрирования.
Разлож на простейшие дроби
Пусть знаменатель правильн рац дроби может быть представл в виде
(множителей вида
может быть несколько), где
—заданные числа
трехчлен
не имеет действительн корней. Тогда
представляется ввиде суммы простейш дробей 1—3 типов:
где — неизвестн коэффиц, кот находятся путем привед суммы справа к общ знаменателю и послед приравн получ числителя к
. Пример:
Интегрир рац дробей
Целой рац ф-цией аргумента х наз многочлен, в кот переменная х только в цел степенях (в том числе х0=1).
anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0
Дробн рац ф-цией аргумента х наз отноше целых рац ф-ций. Причем если степень числителя меньше степени знаменателя, дробь наз правильн. В противн случае – неправильн.
Алгоритм: Если дробь неправильн - выдел цел часть. Получ интеграл от цел части (интегрируется непосредственно) и интеграл от правильн дроби; Если числитель равен дифф-лу знаменателя (или отлич от него пост множителем), то исп замену переменной z=знамен-ль; Если числитель равен дифф-лу некого многочлена (или отлич от него пост множителем), а знаменатель равен степени того же многочлена, то исп замену переменной z=знаменатель; В остальн случ нужно разлож дробь на сумму простейш. Простейш дроби интегрируются в завис-ти от их вида
Интегралы от рац ф-ций
При вычисл интегралов след понизить степень тригонометрич ф-ций переходом к косинусу двойн угла:
.Угол удваивается, пока одна из степеней не станет нечётн
Интегрир иррац ф-ций
Клас иррац ф-ций очень широк,поэтому универсальн способа их интегрир-ния быть не может.
Исп-зуя метод непосредств интегрирования,легко находятся неопред интегралы вида , где p–рац дробь,k и b–действительн коэфиц.
Бывают случаи, когда уместно исп-ние метода подведения под знак дифференциала.Например, при нахождении неопред интегралов вида , где p – рациональная дробь.Достаточно часто приходится иметь дело с неопред интегралами вида
, где p и q –действительн коэффиц
Опред интеграл
I. Величина опред интеграла не зависит от обозначения переменой интегр-ния, т.е. , где х, t– люб буквы. II.Опред интегр с одинаков пределами интегрирования равен нулю.
III. При перестановке пределов интегр-ния опред интеграл меняет свой знак на обратный.
IV. Если промежуток интегр-ния [a,b] разбит на конечн число частичн промежутков, то опред интеграл, взятый по промежутке [a,b], равен сумме опред интегралов, взятых по всем его частичн промежуткам.
V. Пост множитель можно выносить за знак опред интеграла.
VI. Опреде интеграл от алгебраич сумы конечн числа непрерывн ф-ций равен такой же алгебраич сумме опред интегралов от этих ф-ций.
Опред интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента кот есть интегрируемая ф-ция или ф-ционал,а вторая—область в множестве задания этой ф-ции
11.Ф-ла Ньютона—Лейбница
Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной. Если непрерывна на отрезке
и
— ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство
Интегрир по частям в опред
Пусть ф-ции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывн производные на отрезке [а,b]. Тогда
(4)
где
Ф-ла (4) наз ф-лой интегр-ния по частям для опред интеграла.
Пусть «u» и «v»-две дифференц-уемые ф-ции от х. Тогда дифф-циал произв uv вычисл по след ф-ле (uv)| = u|v+ uv|.
Интегрируя в пределах от “а” до “в”, получ в∫а(uv)|dx =в∫а u|vdx+в∫а uv|dx Т.к. ∫(uv)|dx =uv+с , то в∫а(uv)|dx =uvв|а ; поэтому равенство может быть запис в виде в∫а udv= uv в|а – в∫аvdu.Эта ф-ла наз ф-лой интег-ния почастям. Она примем к интегр-нию выраж, кот можно представить ввиде произв двух сомножителей u и dv , чтобы отыскание ф-ции v по её дифференциалу dv и вычисл интеграла в∫аvdu составл в сов-сти задачу более простую , чем непосредств вычисл интеграла в∫аudv.
Замена перем в опред
Эта ф-ла носит назв ф-лы замены перем в опреде интегр.Подобно тому, как это было вслуч неопред интегр, исп замены перем позвол упростить интегр, приблизив его к табличн.При этом в отличие от неопред интегр в данном случае нет необход-ти возвращ к исходн переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегр-ния α и β по нов переменной t как решение относит перем t уравн-ий φ(t)=а и φ(t)=в. На практике, выполняя замену переменной, часто нач с того, что указ выраж t=ψ(х) нов переменной через старую. В эт случае нахождение пределов интегр-ния по переменной t упрощ: α=ψ(а), β=ψ(в).
Несобств интегралы
Опред интеграл назнесобств,если выполн, по крайней мере, одно из след условий:
Предел a или b (или оба) явл бескон;
Ф-ция f(x) имеет одну или неск точек разрыва внутри отрезка [a, b].
Несобств интегралы I рода
Пусть определена и непрерывна на множестве от
и
. Тогда: Если
, то исп обознач
и интеграл назнесобств интегралом Римана перв рода. В эт случае
наз сходящ
Если не сущ конечн , то интеграл
наз расходящ к
, или просто расходящ. Пусть
определена и непрерывна на множестве от
и
. Тогда: Если
, то исп обозначение
и интеграл назнесобств интегр Римана первого рода. В эт случае
наз сходящ. Если не сущ конечного
, то интегр наз расходящ к
, или просто расходящ. Если ф-ция
определ и непрерывна на всей числ прямой, то может сущ несобств интеграл данной ф-ции с двумя бесконечн пределами интегрирования, определяющийся ф-лой:
, где с — произвольное число.
Несобств интегралы II рода.. Пусть определена на
, терпит бесконечн разрыв в точке x=a и
. Тогда: Если
, то исп-ся обозначение
и интеграл назнесобств интеграл Римана втор рода. В эт случае интеграл наз сходящ. Если
или
, то обозначение сохр, а
наз расходящ к
,или просто расходящ.
Пусть определ на
, терпит бесконечн разрыв при x=b и
. Тогда: Если
, то исп обознач
и интеграл назнесобств интеграл Римана второго рода. В эт случае интеграл наз сходящ. Если
или
, то обознач сохр, а
наз расходящ к
, или просто расходящ. Если ф-ция
терпит разрыв во внутр точке
отрезка
, то несобств интеграл второго рода определ ф-лой:
Диф ур-ия
Диф ур-ние — ур-ние, связывающ знач некотор неизвестн ф-ции в некотор точке и значен её производных различн порядков в той же точке. Диф ур-ние содерж в своей записи неизвестн ф-цию, её производные и независимые переменные; однако не любое ур-ние, содержащ производные неизвестн ф-ции, явл диф-ным ур-ием. Например, неявл диф-ным ур-ием. Стоит отметить,что диф-ное ур-ние может вообще не содерж неизвестную ф-цию, некоторые её производные и свободные переменные, но обязано содерж хотя бы одну из производных.
Обыкновенные диф-ные ур-ния (ОДУ) — это ур-ния вида
или
Диф-ные ур-ния в частных производн (УРЧП) — ур-ния, содержащ неизвестн ф-ции от нескольк переменных и их частн производн. Общ вид таких ур-ий можно представить в виде:
Диф ур-ия 1пор.Теор Коши
Простейшие диф-ные ур-ния первого порядка —класс диф-ных ур-ий первого порядка, наиб легко поддающихся реш и исследованию.К нему относ ур-ия в полн дифференциалах, ур-ния с разделяющ переменными,однородн ур-ния первого порядка и линейные ур-ия перв порядка. Все эти ур-ния можно проинтегрировать в конечном виде. Отправной точкой изложения будет служить дифф-ное ур-ние перв порядка, записанное в т. н. симметричной форме:
Зада́ча Коши́ - одна из осн задач теории диф-ных ур-ий(обыкновенных и с частн производными); сост в нахождении реш (интегр)диф-ого ур-ия, удовлетворяющ так наз начальным условиям(начальным даным).Задача Коши обычно возникает при анализе процессов, определяемых диф-ным законом эволюции и начальным сост-ем(математич выраж-ем кот и явл ур-ние и нач условие).
Справедлива следтеорема о сущ и единственности решения задачи Коши. Теор Коши. Пусть в области D из Rn+1непрер все компоненты вектора прав части F(x,Y)и их частные произв по Y:
Тогда, какова бы ни была нач точка (x0,Y0) ≡ (x0,y1, 0 ,y2, 0, … ,yn, 0 ) ∈D ,сущ т отрезок [x0 − h; x0 + h] ,что задача КошиY' = F(x,Y),что Y(x0)=Y0имеетединствреш
Решение лин диф ур-ий
Диф-ное ур-ние обычно имеет бесконечно много реш. Чтобы выдел нужное реш, исп доп усл. Чтобы выдел единств реш ур-ния n–го порядка задают n нач усл-ий y(x0) = y0, y '(x0) = y1, y ''(x0) = y2, … , y(n − 1)(x0) = yn − 1.
Задачей Коши(или нач задачей)наз задача отыск решy = y(x) ур-ния
F(x, y(x), y '(x), y ''(x), …, y(n )(x)) = 0, x>x0,
удовлетворяющего условиям
y(x0) = y0, y '(x0) = y1, y ''(x0) = y2, … , y(n − 1)(x0) = yn − 1.
Условия y(x0) = y0, y '(x0) = y1, y ''(x0) = y2, …, y(n − 1)(x0) = yn − 1 наз нач данными, нач условиями или данными Коши. Люб конкретное решy = φ(x) ур-ния n –го порядка F(x, y(x), y '(x), y ''(x), … , y(n )(x)) = 0, назчастным решением.