Вычисление Поверхностных интегралов второго рода (ПИ-2)

Рассмотрим ПИ-2 n₀)dq, где ā=(X(x;y;z),Y(x;y;z),Z(x;y;z)) , n₀= ( ).

Если прямые || осям координат пересекают поверхность Q не более чем в одной точке,то (ā;n₀)=Xcosα+Ycosβ+Zcosγи ПИ-2 принимает вид: (**) Выражение (**) назыв. Скалярной формой ПИ-2. Полученное представление позволяет рассматривать ИП-2 как сис-му трех ПИ-1.Заметим,что для вычисления ПИ-2 cosγdq есть проекция dq на плоскость XOY, взятая со знаком «+» или «–». «–» соответствует тупому углу между и OZ Т.о. dq = )dq= (***) где y=y₁(x;z),… получены из уравнения поверхности Q в рез-те выражения переменных x,y и z.Q_xy,Q_yz,Q_xz – проекции поверхности Q на плоскость XOY,YOZ и XOZ соответственно.

Знак «-» перед интегралом выбирается в случае если вектор нормалью к поверхности образует с соответственной осью тупой угол. Пример: Вычислить поверхностный интеграл )dq , где ā(0;0;x²y²z);Q – внутренняя сторона нижней половины сферы Q=x²+y^2+zz²=R²,где z

+ 0dxdz + x²y² zdxdy = - x²y² zdxdy = - x²y² dxdy= [x=pcosϒ;y=psinϒ]= - dpdϒ=- dpdϒ=- =…

Векторные поля

Определение 1: Векторным полем называется пространство Rⁿ или его часть,в каждом точке j-го определена векторная функция ā=ā(p)

Определение 2:Векторной линией(силовой) векторного поляā=ā(р) называется линия,в каждой точке Pj-й вектор ā(р) направлен по касательной.

Определение 3:Пусть ā=ā(р) – векторное поле R³ .Векторной трубкой называется поверхность,образованная векторными линиями,проходящ.из точки некоторой замкнутой кривой L,не совпадающей ни с одной из векторных линий.

Определение 4:Потоком вектора ā,через поверхность S называется интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности, т.е. П=

Физический смысл потока: он равен количеству жидкости,протекающей за единицу времени через данную поверхность.

Определение 5:Дивергенцией векторного поля ā(р)(расходимостью) наз.число обознач div ā_p(p) и равное lim-у отношения потока поля ā(р) из замкнутой поверхности Q к величине объема ∆V,огранич.данной поверхностью,когда ∆V 0,т.е. при условии что ∆Q стягивается в т.Р

div ā(p)=

т.о.divā(p) характеризует мощность наход.в точке Р источника,если divā(p)<0,и стока div ā(p)>0.

Если же div ā(p)=0,то в т.Р нет источников и стоков.

Свойства дивергенции:

1. Если ā – постоянный вектор, то div ā= 0.

2. div(c⋅ā) = с⋅divā, где с = const.

3. div (ā + b) = divā + divb т.е. дивергенция суммы двух векторных функций равна сумме дивергенции слагаемых.

4. Если U – скалярная функция, ā – вектор, то div (U⋅ā) = U⋅divā + āgradU.

Док-во (4 св-во):

divUā= + + = *x *u+ *y+ *u+ *z+ *u=

u( + + )(x;y;z)*( ; ; )=u*div ā+ā*grad u.

Теорема Остроградского-Гаусса:

Если векторная функция ā(р) непрерывно диф-ма в области V,огранич.замкнутой поверхностью Q,то поток векторного поля ā(р) из Q в направлении внешней нормали da₀=

Формула Остроградского-Гаусса означает, что поток векторного поля через

замкнутую поверхность S (в направлении внешней нормали, т.е. изнутри) равен

тройному интегралу от дивергенции этого поля по объему V, ограниченному

данной поверхностью.