Поверхностные интегралы 1 рода

Определение 1. Пусть Q- поверхность в пространстве, f(p)=f(x;y;z) непрерывная на Q на функция. Разобьем поверхность Q на n частей с площадями ∆ . На каждой из элементарных площадок выберем по точку и составим интегральную сумму ∆ .

Пусть λ – max диаметр площадок, т.е. наибольшее расстояние между точками площадки

Если существует конечный предел при λ 0 ∆ , который не зависит от способа разбиения площадок и выбора точек , то он называется ПИ-1 от f(p) по поверхности Q и обозначается

Теорема 1: Если функция f(p) непрерывна на замкнутой ограниченной поверхности Q , то ПИ-1 из опред. 1 существует.

Пусть поверхность Q гладкая(в каждой точке существует касательная плоскость) и правильная в направлении оси Oz(любая прямая || оси Oz пересекает Q не более чем в одной точке) тогда уравнение поверхности можно записать в явном виде z= (x;y) , где (x;y) – дифференцируемая на = D функция, а D – проекция Q на плоскость XOY α

Пусть - - единичныйвектор нормали к плоскости XOY( ); - вектор нормали к поверхности Q , т.к. уравнение Q можно записать z- (x;y)=0,то

= =

Так как площадь проекции равна произведению площади проектируемой поверхности на косинус угла между проектируемой поверхн. И плоскостью проекции, то ∂S=∂q* =

∂q= ∂S ; = , - проекция поверхности Q на XOY.

Замечание 1. Если поверхность Q –неправильная в направлении оси Oz, то её разбивают на правильные части и находят интеграл, как сумму интегралов по правильным частям.

Замечание 2. Можно проецировать поверхность на плоскости XOZ на YOZ.

КРИ 2-ого рода

Определение 1. Пусть дана ограниченная замкнутая линия L в пространстве OXYZ на плоскости OXY с ортонормированным базисом , , ( ). Если для каждой точки задан вектор (P)=X(x;y;z) +Y(x;y;z) +Z(x;y;z) . Тогда говорят, что заданная функция с областью опр. L.

Определение 2. Линия называется ориентационной если указано направление её обхода: в каждой её точке задан ориентирующий вектор (p)= направленный по касательной к линии в сторону перемещения .

Определение 3. Пусть даны ориентированные линии L и векторная функция (p) заданная на L . Разобьем линию L на n элементарных линий с длинами ∆ на каждой из элементарных линий выбранных по точке и составим интегральную сумму )* ) ∆

Если существует конечный предел ( )* ) ∆

При стремлении max диаметра элементарных линий к 0, который не зависит от способа разбиения на элементарные линии и выбора точек , то он называется КРИ-2 рода от функции (p), по ориентированной линии L и обозначается ∂l ;

Теорема 1. Если на ориентир. ограниченной замкнутой гладкой линии L координаты X(x;y;z), Y(x;y;z), Z(x;y;z) непрерывны, то КРИ-2 из опред 3 существует.

Основные свойства КРИ-2 аналогичны свойствам КРИ-1, например:

1) , ∂l = ∂l ∂l

2) ∂l= ∂l для c R

3) = +

Где содержит не более одной точки

4) КРИ-2 обладает рядом специфических св-в

При изменении направления обхода РИ-2 меняет знак: ∂l = - ∂l

∂l= ∂l= ∂l

Рассмотрим механическое истолкование КРИ-2:

Пусть сила действует вдоль некоторой линии L меняясь как по величине, так и по направлению, т .е.: = (X(x;y;z); Y(x;y;z); Z(x;y;z)), тогда работа силы при перемещении по элементарной дуге ∆ при условии что сила постоянна и равна ), где - некоторая точка дуги, равна ∆ =| )|- ∆ - cos( ) ))= ( ) )) ∆

Суммарная работа силы А= ( ) )) ∆

Переходя к пределу →0 получим А= ( ); )) ∆ ∂l

Т.е. с механической точки зрения КРИ-2 представляет собой работу переменной силы вдоль некоторой кривой.

Формула Грина

В случае замкнутого контура КРИ-2 обозначают .Если направление обхода контура не указано, то предполагают, что обход конура совершают против часовой стрелки.

Пусть в плоскости ХОУ задана область Д ,ограниченная кривой L.

Предположим, что область Д правильная как в направлении оси ОХ, так и в направлении оси ОУ.

Д:x=a; x=b

y=y₁(x)

y=y₂(x)
Пусть в области Д заданы функции X(x;y) и Y(x;y)-непрерывно дифференцируемые

Тогда:

I₁+I₂

I₂=

Аналогично

I₂=

Таким образом

I₁=-

I₂=

I=- +

Получим формулу Грина

Замечание1 При изменении направления обхода,интеграл в правой части формулы меняет знак

Замечание 2 С помощью формулы Грина можно найти площадь плоской области

Если в скобках во втором интеграле получается 1,то

Так,если Y=x/2;X=-4/2,то

Аналогично при Y=x;X=0,

Если Y=0;X=-y