Задача о нахождении площади поверхности.

“Сапог Шварца”.

При рассмотрении длины кривой мы фактически определили длину кривой как предел длины вписанной в кривую ломанной, когда максимальная длина звена ломаной стремится к нулю.

Казалось бы, что при решении задачи о площади поверхности логично ее определить как предел площади вписанного многогранника. Однако следующий пример показывает, что такой подход здесь не срабатывает.

Рассмотрим прямой круговой цилиндр высоты Н и с радиусом основания R. Разобьем его на m цилиндров высоты .

Каждую окружность разобьем на n частей и впишем в них правильные n-угольники. Причем точки деления вышележащих окружностей лежат над серединами дуг нижней окружности. Соединим отрезками соседние вершины смежных по вертикали n-угольников. Так построенный многогранник, вписанный в цилиндр называется « сапогом Шварца». Вычислим площадь

« сапога Шварца». .

Тогда: . Устремим . Получим .

Предел этого выражения зависит от отношения и, следовательно, не существует.

§. Поверхностные интегралы 1^-го рода.

Пусть вЕ₃ задана поверхность : ;

, и на поверхности S задана функция .

Проводя в области координатные линии и , получим в области разбиение . В каждом элементе разбиения отметим точку .

Разбиение с отмеченными точками индуцирует на также разбиение с отмеченными точками . В каждый отмеченной точке построим касательную плоскость к поверхности. Заменим поверхность на чешуйчатую поверхность, состоящую из кусочков касательных плоскостей.

Рассмотрим: . Здесь – координаты отмеченной точки, – скалярный элемент площади. Если такой предел существует, то он называется поверхностным интегралом 1-го рода и обозначается .

.

Физический смыслповерхностного интеграла 1-го рода –масса поверхности S с поверхностной плотностью .

Свойства:

1°. Условие нормировки: . Это условие обозначает, что поверхностный интеграл 1-го рода от единицы численно равен площади поверхности.

2°. Интеграл не зависит от стороны двухсторонней поверхности, по которой

идет интегрирование: .

3°. О нахождении : Þ

Þ = .

Еще рассмотрим: .

= = ,

Здесь: , ,

.

Величина: называется первой квадратичной формой поверхности. Эта квадратичная форма положительно определена. Ее матрица: и, следовательно, по критерию Сильвестра: .

Теперь отметим, что: и . Возведем оба соотношения в квадрат и сложим. Получим: .

Тогда : .

4°. .

.

Примеры вычисления поверхностных интегралов рода:

1°. Вычислить , где – часть поверхности параболоида , отсекаемая плоскостью .

Δ. Запишем параметрическое уравнение заданной поверхности:

.

Находя вектор нормали к поверхности , можем найти и элемент поверхности Þ .

Параллельно получена формулы нахождения и для для функции заданной явно:

, .

Тогда, вычисляя исходный интеграл, получаем:

. Здесь – проекция поверхности интегрирования на плоскость , т.е. круг единичного радиуса. Переходя в полярную систему координат, вычисляем интеграл:

. ▲

2°. Вычислить , если S- граница тела: .

Δ. Поверхность интегрирования состоит из двух частей – боковой поверхности конуса и крышки. Поэтому .

Первый из этих интегралов – интеграл по кругу единичного радиуса и

.

Для вычисления второго из интегралов запишем параметрическое уравнение конуса в виде: и векторный и скалярный элементы площади поверхности: и . Тогда для искомого интеграла получаем:

= .▲

И, наконец, .

3°. Вычислить , если S – полусфера , .

Δ. Параметрическое уравнение сферы радиуса а:

.

Тогда =

= Þ

Þ .

Тогда: =

= = 0.

§. Поверхностные интегралы 2 рода.

0

Пусть вЕ₃ задана поверхность : ;

, и на поверхности S задана вектор-функция

и, при этом .

Рассмотрим: .

Если такой предел существует и конечен, то он называется поверхностным интегралом 2-го рода и обозначается .

Физический смыслповерхностного интеграла 2-го рода – поток векторного поля через поверхность S в направлении нормали, определяемой вектором , т.е. стороной поверхности. Собственно говоря, это и есть определение потока векторного поля через поверхность.

Свойстваповерхностного интеграла 2-го рода:

1°. Интеграл меняет знак при изменении стороны поверхности, по которой идет интегрирование: .

2°. Связь с поверхностным интегралом 1 рода.

.

Здесь единичный вектор нормали к поверхности; – направляющие косинусы нормали к поверхности; , , ;

.

3°. Если помнить о том, что: ,

, , легко написать формулу для вычисления поверхностного интеграла 2-го рода

.

Примеры вычисления поверхностных интегралов 2 рода.

1°. Вычислить , где S – внешняя сторона сферы =

Вектор нормали был найден в предыдущем параграфе, в примере 3°.

.

Знак в выражении для берем так, чтобы в 1 октанте координаты вектора были положительными (внешняя сторона).

.

Вектор .

Тогда: =

= . ▲

2°. Вычислить , если S- внешняя сторона конуса

с крышкой z = 1.

Δ Поверхность интегрирования состоит из двух частей – боковой поверхности конуса и крышки. Поэтому: .

а). Для вычисления первого из них, отметим что и, следовательно:

.

б). Для вычисления второго из них, вспомним что для поверхности, заданной явно: . Знак выбран так, чтобы получить внешнюю нормаль к поверхности. Получаем:

.

Таким образом .

Скалярные поля.

Пусть задана область в евклидовом пространстве и в задана функция . Тогда говорят, что в задано скалярное поле (синоним: функция трех переменных). Поверхности называются поверхностями уровня скалярного поля.

Пусть задан вектор с известными направляющими косинусами .

Производной скалярного поля по направлению называется величина:

.

Запишем параметрическое уравнение прямой :

;

Тогда на этой прямой:

и тогда:

.

Вводя вектор получим: .

Из делаем вывод, что вектор указывает направление максимального роста поля и по величине равен скорости роста поля в этом направлении.

Такое определение является инвариантным относительно системы координат.

Если для векторного поля существует скалярное поле такое, что то поле называется потенциальным полем а скалярное поле называется его потенциалом.

Необходимое и достаточное условие потенциальности поля :

.

Векторные поля.

Пусть задана область в евклидовом пространстве , и в задана векторная функция . Тогда, говорят что в задано векторное поле.

Def: Линии в пространстве в каждой точке которых векторное поле направлено по касательной к данной линии называется векторными линиями поля (силовыми линиями, линиями тока).

Векторные линии можно найти исходя из системы дифференциальных уравнений векторных линий: , например для : Þ – прямые, проходящие через начало координат.