Основные элементы описания линейных многомерных колебаний в формализме Лагранжа.

Введем многомерный вектор:

При введении многомерных векторов и матриц уравнение функции Лагранжа для колеблющейся многомерной системы в линейном приближении можем переписать в виде:

УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ МНОГОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ В ФОРМАЛИЗМЕ ЛАГРАНЖА В ЛИНЕЙНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ.

Запишем уравнение в виде Лагранжа-Эйлера:

В дальнейшем будем рассматривать мех.сист. у которых матрицы m и æ являются симметричными.

;

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ МНОГОМЕРН.КОЛЕБ В ЛИН.ПРИБЛЕЖЕНИИ.

Будем рассматривать р-е ур-ий дв-я кол-ся мех-ой сис-мы в лин прибл.,т.е когда будем строить ф-ю Лагранжа, то ф-ии будет реализовывать разложение слагаемых до 2ого порядка по оклон. обобщающих координ. от состояния устойчивого равновесия

L(ϕ,ψ,ϕ,ψ)Пусть механич. сис-ма имеет r степеней свободы. Эта механич. cис-ма определ-ся обобщ .коорд. коорд-ми q_1,q_2….q_r..Обозначим q_r,где L=1,2….r,тогда L=L(q_λ,q_λ)=T-U(q_λ)

Будем рассматривать состо-я мех сис-мы,где потенц. энергия минимальна.X_λ=q_λ-q⁽⁰⁾_λ отклон. обобщ. коорд-ты от положения равновесия.U(q_λ)=U(q⁽⁰⁾_λ+x_λ)= U(q⁽⁰⁾_λ)+ + +….

T= Ф-ю Лагранжа для колеб. многомерной сис-мы в лин.приближении можем записать в виде L= где координаты опред.пар-ми коэ-ты

32 вопрос

Продолжение 32

33 нормальные колебания-набор характерных для колебательной системы типов гармонических колебаний. Каждое из нормальных колебаний физической системы, например, колебаний атомов в молекулах, характеризуется своей частотой. Набор частот нормальных колебаний составляет колебательный спектр. Произвольное колебание физической системы можно представить в виде суперпозиции нормальных колебаний. Вынужденные колебания физической системы имеют резонанс на частотах, которые совпадают с частотами нормальных колебаний.. Нормальные колебания взаимно линейно независимы и взаимно ортогональны :

,

38 39 40

Законы сохранения физических величин в формализме Гамильтона

Если частица движ. центр. симетр. в пот. поле то в этом случае выполн. з-н сохр. 3-ей компоненте мом. импульса. Аналог. образом м-но показ. что явл сохран. велич. независ. от врем. =const

В случае дв-я частицы в центр. симетр. пот. поля выполн. з-н сохр. мом. импульса L как векторной велич.

З-ны сохр. определ. физ. велич. тесным образом связаны со св-ми симметрии физ. сист.

Фазовое пространство. Закон сохранения потока точек фазового пространства

Фазовое пространство это множество точек которые задается с помощью осей на которых откладываются обобщенные координ.

Распр. т. фазового пространства определённая физическая величина не изменяется т.е. пост.

Только 43

Ненужно

Вопрос

В гамильтоновой механике каноническое преобразование — это любое преобразование фазового пространства системы, сохраняющее его симплектическую структуру.Канонические преобразования обычно задаются производящей функцией. Пусть F(q,Q,t) — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени: Тогда она задаёт каноническое преобразование по правилу где (q,p) — старые координаты и импульсы системы, а (Q,P) — новые координаты и импульсы.Действие, выраженное как функция координат и импульсов конечной точки задаёт каноническое преобразование гамильтоновой системы.

Опрос 45

ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ УРАВНЕНИЕ - дифференциальное ур-ние в частных производных 1-го порядка, описывающее движение голономных механич. систем под действием потенц. сил. Чтобы составить Г.- Я. у., необходимо для данной механич. системы знать Гамильтона функцию H(qi, pi, t), где qi и рi- - канонич. переменные: обобщённые координаты и обобщённые импульсы, a t - время. Тогда Г.- Я. у. будет иметь вид

где правая часть представляет собой выражение ф-ции H, в к-ром все pi заменены на , a S - подлежащая определению ф-ция координат qi и времени t, представляющая собой действие по Гамильтону; иногда ф-цию S (qi, t)наз. главной ф-цией Гамильтона.

В частном случае при движении одной материальной точки в силовом поле, определяемом силовой ф-цией U(x, у, z, t), Г.- Я. у. имеет вид

,

где т - масса точки, х, у, z - её координаты.

Г.- Я. у. непосредственно связано с Гамильтона уравнениями ,к-рые с матем. точки зрения являются для ур-ния (1) ур-ниями характеристик.

Чтобы с помощью Г.- Я. у. найти закон движения механич. системы, надо определить полный интеграл ур-ния (1), т. е. его решение, содержащее столько постоянных интегрирования, сколько в ур-нии независимых переменных. Этими переменными являются координаты qi и время t; число их равно s+1, где s - число степеней свободы системы. Следовательно, полный интеграл ур-ния (1) должен содержать s+l постоянную, из к-рых одна, как аддитивная, может быть отброшена, и имеет вид

Если решение Г.- Я. у. в виде (2) будет найдено, то, составив s равенств

где - новые произвольные постоянные, получим s алгебраических (недифференциальных) ур-ний, левые части к-рых содержат qi, и t и из к-рых можно определить qi в виде

Значения др. группы канонич. переменных рi находят из равенств

Ур-ния (4), выражающие qi как ф-ции t, и определяют положение механич. системы в любой момент времени, т. е. закон её движения. Входящие сюда постоянные и находят подстановкой начальных данных в равенства (4) и (5).

Если ф-ция Гамильтона H явно не содержит время, что, в частности, имеет место для консервативных систем, то S можно искать в виде

где h - постоянная, равная полной энергии системы, a S0 - величина, наз. укороченным действием (действием по Лагранжу) или характеристич. ф-цией и определяемая как полный интеграл ур-ния в частных производных

в виде Тогда полный интеграл Г.- Я. у. будет и закон движения системы определится в соответствии с (3) из равенств