Теория теплоёмкости Эйнштейна
Квантовая теория теплоёмкостей Эйнштейна была создана Эйнштейном в 1907 году при попытке объяснить экспериментально наблюдаемую зависимость теплоёмкости от температуры.
При разработке теории Эйнштейн опирался на следующие предположения:
· Атомы в кристаллической решетке ведут себя как гармонические осцилляторы (Фононы), не взаимодействующие друг с другом.
· Частота колебаний всех осцилляторов одинакова и равна .
· Число осцилляторов в 1 моле вещества равно , где
— число Авогадро.
· Энергия их квантована: , где
,
— редуцированная постоянная Планка (постоянная Дирака).
· Число осцилляторов с различной энергией определяется распределением Больцмана: , где
— постоянная Больцмана,
— термодинамическая температура.
Внутренняя энергия 1 моля вещества:
.
Среднее значение энергии одного осциллятора находится из соотношения для среднего значения:
и составляет:
,
отсюда:
.
Определяя теплоёмкость как производную внутренней энергии по температуре, получаем окончательную формулу для теплоёмкости:
.
Согласно модели, предложенной Эйнштейном, при абсолютном нуле температуры теплоёмкость стремится к нулю, при больших температурах, напротив, выполняется закон Дюлонга — Пти. Величина иногда называется температурой Эйнштейна.
Недостатки теории
Расхождение теорий Эйнштейна и Дебая
Теория Эйнштейна, однако, недостаточно хорошо согласуется с результатами экспериментов в силу неточности некоторых предположений Эйнштейна, в частности, предположения о равенстве частот колебаний всех осцилляторов. Более точная теория была создана Дебаем в 1912 году.
Модель Дебая
В термодинамике и физике твёрдого тела модель Дебая — метод, развитый Дебаем в 1912 г. для оценки фононного вклада в теплоёмкость твёрдых тел. Модель Дебая рассматривает колебания кристаллической решётки как газ квазичастиц — фононов. Эта модель правильно предсказывает теплоёмкость при низких температурах, которая, согласно закону Дебая, пропорциональна . В пределе высоких температур теплоёмкость стремится к 3R, согласно закону Дюлонга — Пти.
При тепловом равновесии энергия E набора осцилляторов с различными частотами равна сумме их энергий:
где — число мод нормальных колебаний на единицу длины интервала частот,
— количество осцилляторов в твёрдом теле, колеблющихся с частотой ω.
Функция плотности в трёхмерном случае имеет вид:
где V — объём твёрдого тела, — скорость звука в нём.
Значение квантовых чисел вычисляются по формуле Планка:
Тогда энергия запишется в виде
где — температура Дебая,
— число атомов в твёрдом теле,
— постоянная Больцмана.
Дифференцируя внутреннюю энергию по температуре получим:
4) Механизм действия Фононов на электропроводность
СМ Лабу 2, теоретическую часть. Кратко :
В диэлектриках теплопроводность пропорциональна произведению теплоемкости фононного газа, скорости фононов и длины их свободного пробега (определяется так называемым рассеянием различного рода).
В металлах теплопроводность определяется в меньшей степени переносом тепловой энергии фононами и в большей степени движением и взаимодействием свободных носителей заряда – электронов проводимости.
5) термическое расширение твердых тел