Циркуляцию вектора-потенциала

Магнитный поток, пронизывающий какую-либо поверхность S:

. (13.23)

Так как В = rot A, то .

На основании теоремы Стокса поверхностный интеграл может быть преобразован в линейный:

. (13.24)

Таким образом,

. (13.25)

Другими словами, для определения магнитного потока, пронизывающего некоторую площадь (поверхность) S, необходимо подсчитать циркуляцию вектора потенциала по замкнутому контуру, на который опирается поверхность S.

Определение потока по (13.25) часто имеет преимущества по сравнению с определением потока через магнитную индукцию по (13.23). Соотношением (13.23) можно пользоваться в том случае, когда известно значение В в любой точке поверхности S, тогда как для вычисления потока с помощью соотношения (13.25) достаточно знать значение A на контуре и не требуется знание А в точках внутри контура. Переход от к интегралу можно пояснить следующим образом. Разобьем площадь S на элементарные площадки (рис. 13.7). Заменим интеграл суммой и под интегралом вместо rot А подставим в соответствии с определением ротора (предел опущен), тогда

.

Таким образом, для вычисления необходимо найти составляющие циркуляции вектора А по контурам всех элементарных площадок и затем сложить их. Так как при составлении циркуляции обход участков, являющихся смежными между какими-либо двумя соседними площадками, совершается дважды и притом в противоположных направлениях, то составляющие циркуляции на всех смежных участках взаимно уничтожаются, и остается циркуляция только по периферийному контуру mnpq:

.

Рис. 13.7 Иллюстрация к определению rotA.

Рассмотрим граничные условия для векторного потенциала. Если к плоскому контуру на границе раздела двух сред (подобно изображенному на рис.13.5, б и у которого размер nр ® 0) применить (13.25) и учесть, что поток через этот контур равен нулю, то получим граничное условие для тангенциальной составляющей вектора A А_1t = A_2t

Нормальная составляющая вектора A в постоянном магнитном поле тоже непрерывна, т. е. А_1n = A_2n. Это следует из того, что для этого поля div А = 0. Но для переменного электромагнитного поля div A = , поэтому для синусоидального поля при использовании нормировки Лоренца .

Векторный потенциал элемента тока

Определим величину и направление составляющей векторного потенциала А создаваемой током i, протекающем по элементу линейного проводника длиной dl. Пусть расстояние от элемента тока до произвольной точки пространства обозначено через R (рис. 13.8) (R >> dl). В соответствии с общим выражением

, но ddV = ddSdl = idl,

где dS — площадь поперечного сечения проводника. Следовательно,

. (13.26)

Рис. 13.8 Элемент тока i и его вектор – потенциал.

Составляющая векторного потенциала от элемента тока имеет такое же направление в пространстве, как и ток в элементе проводника.