Принцип Д’Аламбера: При движении системы ее состояние может рассматриваться, как состояние равновесия, если к активным силам, действующим на систему, прибавить фиктивные силы (силы инерции).

В точке М скорость движения жидкости обозначим через V:

проекции скорости на оси: V_х, V_y V_z,

проекции ускорения на оси :dV_х/dt, dV_y/dt, dV_z/dt.

По принципу Д’Аламбера силы, которые необходимо ввести в уравнения равновесия, равны произведению ускорений на массу параллелепипеда.

Уравнения, описывающие движение выделенного объема жидкости в проекциях на координатные оси будут иметь вид:

масса ускорение масс.сила сила давления

(ρ*δхδyδz)*(dV_х/dt) = X(ρ*δхδyδz) - (dp/dx)* δхδyδz;

{ (ρ*δхδyδz)*(dV_y/dt) = Y(ρ*δхδyδz) - (dp/dy)* δхδyδz;

( ρ*δхδyδz)*(dV_z/dt) = Z(ρ*δхδyδz) - (dp/dz)* δхδyδz;

гдеX,Y, Z– проекции единичных массовых сил.

Разделив эти уравнения почленно на массу параллелепипеда δm = ρ*δхδyδz и, перейдя к пределу, устремляя одновременно δх, δyиδz к нулю, стягивая параллелепипед к точке М, получим уравнения движения частицы жидкости.

Система дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости или уравнения Эйлера.

(5.13)

Левые части этих уравнений представляют собой проекции ускорения на оси. В правой части алгебраическая сумма единичных массовых сил и сил давления.

Уравнения Эйлера в таком виде справедливы для несжимаемой и сжимаемой жидкости. Эти уравнения используют для частного случая, когда из массовых сил действует сила тяжести, и при относительном движении жидкости. При этом в величины Х, У и Z входят компоненты ускорения переносного движения.

Рассматривая установившееся движение жидкости, умножим каждое из уравнений (5.16) на проекции элементарного перемещения по осям и сложим уравнения:

В проекциях на ось X:

В проекциях на ось Y:

В проекциях на ось Z:

Просуммировав эти проекции, получим:

(5.14)

Выражение в скобках является полным дифференциалом давления:

.

Произведение скорости на дифференциал скорости можно выразить :

Уравнение (5.14) можно переписать в следующем виде

Xdx +Ydy + Zdz = (1/ρ)*(dp) + d(V²/2), (5.15)

Интегрирование этого уравнения выполним для случая установившегося движения идеальной жидкости, когда на жидкость действует лишь одна массовая сила - сила тяжести. При направлении оси вертикально вверхX = 0, Y= 0, Z = - g.Подставляя эти значения в уравнение (5.17) получим

gdz + dp/ρ + d(V²/2) = 0, или dz + dp/(gρ) + d(V²/2g) = 0.

Так как для несжимаемой жидкости ρ = const, предыдущее уравнение можно переписать в виде

d(z + p/(gρ) + (V²/2g)) = 0

Это означает, что приращение суммы трех членов, заключенных в скобки, при перемещении частицы жидкости вдоль линии тока (траектории) равно нулю, следовательно, указанный трехчлен есть величина постоянная вдоль линии тока и вдоль элементарной струйки

z + p/(gρ) + (v²/2g) → const.

Получили уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости, найденное в предыдущем параграфе другим способом.

Если записать это уравнение для двух сечений струйки 1-1 и 2-2, оно примет вид первой формы уравнения Бернулли:

Задачи на идеальную жидкость. Примеры Б.П.Борисова.

1. Истечение из отверстия идеальной жидкости разной плотности. На рис.5.8. три сосуда с идеальной жидкостью. Заполнение сосудов указано. Определить скорости истечения из сосудов, используя уранение Бернуллидля для идеальной жидкости.

Рис.5.8. Пример использования уравнения Бернулли для идеальной жидкости.

Запишем уранение Бернулли для сечений 0-0 и 1-1 и условия для сечений 0-0 и 1-1:

Уравнение записывается в избыточных давлениях, это значит, что на уровне 0-0 и 1-1 равно давление атмосферное, для установившейся скорости, это значит, что уровень 0-0 не изменяется и скорость V₀=0. Скорость истечения равна

Чтобы воспользоваться уравнением Бернулли для рис.5.8в нужно привести жидкости в сосуде к одной плотности. Приводим жидкость плотностью ρ₁ к жидкости плотностью ρ₂, то есть определяем, какой столб жидкости плотностью ρ₂ компенсирует действие столба плотностью ρ₁.

Высота жидкости в сосуде при одинаковой плотности ρ₂ будет равна

Скорость истечения

2.На рис.5.9. идеальная жидкость вытекает из сосуда через сопло с диаметром d₀. Определить на каком удалении от сопла диаметр струи уменьшится в 1,5 раза.

Рис.5.8. Определение диаметра сечения при истечении идеальной жидкости.

При свободно падении скорость и перемещение изменяются по законам

При увеличении скорости по уранению неразрывности расход остает постоянным, поэтому сечение должно уменьшится. Уравнение неразрыности

Скорость истечения из отверстия