Изменение напряжения трансформатора. вывод расчетной формулы

Изменением напряжения ΔU трансформатора называется арифметическая разность между номинальным вторичным напряжением (U_2ном и вторичным напряжением U₂, которое получается (устанавливается) на зажимах вторичной обмотки при нагрузке трансформатора и заданном коэффициенте мощности нагрузки cosφ₂.

Номинальным вторичным напряжением U_2ном силового трансформатора называется вторичное напряжение, определенное по коэффициенту трансформации К без учета падений напряжения от тока холостого хода. Практически это будет вторичное напряжение при холостом ходе

U_2ном=U₁(ω₂/ω₁)=U₁/K

Изменение вторичного напряжения обычно выражается в процентах по отношению к номинальному вторичному напряжению U_2ном

Δu=[( U_2ном- U₂)/ U_2ном ]100%. (6.1)

Изменение напряжения происходит вследствие наличия активных и реактивных падений напряжений в первичной и вторичной обмотках трансформатора.

Для вывода формулы изменения напряжения используется векторная диаграмма приведенного трансформатора (рис. 6.1) для случая индуктивной нагрузки. При построении этой диаграммы предполагается, что вторичная обмотка приведена к первичной и ток холостого хода равен нулю.

Треугольник короткого замыкания ABC необходимо перестроить таким образом, чтобы один из катетов нового треугольника являлся бы продолжением вектора U₂. Для этого на гипотенузе АС, как на диаметре, описывается полуокружность и строится треугольник ACD (рис. 6.2).

Отрезки CD и AD выразим в % от вектора первичного напряжения U₁ и полученные значения обозначим через m и n (соответственно)

m=(CD/U₁)•100%; n=(AD/U₁)•100%. (6.2)

Из прямоугольного треугольника ADО (см рис. 6.1)

AО² = OD² + AD² = (ОС + CD)² + AD²

Рис. 6.1. Векторная диаграмма приведенного трансформатора, поясняющая вывод формулы изменения напряжения

Рис. 6.2.Треугольник короткого замыкания, перестроенный для вывода формулы изменения напряжения

или, выразив отрезки через соответствующие векторы,

U²₁=(U₂+m•U₁/100)²+(n•U₁/100)²_,

Откуда

U'₂=√U²₁-(n• U₁/100) ²-m•U₁/100.

Формулу изменения напряжения подвергнем некоторому преобразованию, зная, что U₁= KU_2ном и U'₂ = KU₂ (из условия приведения):

Δu=[( U_2ном- U₂)/ U_2ном ]100=[(KU_2ном- KU₂)/ KU_2ном ]100==[( U₁- U'₂)/ U₁]100

=(1- U'₂/ U₁ )100%.

Подставив вместо U'₂ его значение, получим

С целью упрощения формулы выражение может быть разложено в ряд по формуле бинома Ньютона

Члены этого ряда, начиная с третьего, весьма малы и ими можно пренебречь. Взяв лишь два первых члена, будем иметь

Определим значения m и n. Для этого выразим их через значения u_а и u_р — активное и реактивное падения напряжения.

Обратимся к рис. 6.2 и рассмотрим треугольники ABC и ADC. Проведем линии BE || CD (до продолжения катета AD) и BF || AD. Из треугольников BFC и БЛ£ легко видеть, что

CD = CF + FD = CF + BE = ВС cosφ₂ + AB sinφ ₂ и

AD = AE — DE = AE — BF = AB cosφ₂ — ВС sinφ₂.

Катеты ВС и AВ треугольника короткого замыкания, отнесенные к вектору U₁ первичного напряжения, являются активной и реактивной составляющими этого треугольника, т. е.

u_a=(BC/U₁)100% и u_P=(AB/U₁)100%

Таким образом, учитывая выражения (6.2), получаем формулу изменения напряжения в ее окончательном виде

Δu=m+n²/200= u_a cosφ₂+ u_P sinφ₂+(u_P sinφ₂ - u_a cosφ₂)²/200.

Угол φ₂ сдвига по фазе нагрузочного тока I₂ относительно напряжения U₂ при индуктивной и емкостной нагрузках имеет противоположные знаки. Соответственно этому и члены, содержащие sinφ₂ , также должны иметь обратные знаки.

В связи с этим формулу изменения напряжения можно записать в более общем виде

Δu=u_a cosφ₂± u_P sinφ₂+(u_P sinφ₂± u_a cosφ₂)²/200. (6.4)

где верхние знаки при sinφ₂ относятся к индуктивной нагрузке, а нижние — к емкостной.

Рассмотрим некоторые частные случаи, когда формула для изменения напряжения приобретает упрощенный вид.

При активной нагрузке, т. е. когда cos φ₂= 1 и, следовательно, sin φ₂= 0, формула значительно упрощается и имеет вид

Δu=u_a +u²_P/200.

При значении u_P <5% последним членом в формуле (6.4) можно пренебречь, и тогда

Δu=u_a cosφ₂± u_P sinφ₂ (6.5)

а при активной нагрузке (в частном случае) Δu=u_a.

Пример 6.1. Вычислить значение изменения напряжения трансформатора при cos φ₂ = 0,8, если u_a = 2,4% и u_P = 5% (нагрузка индуктивная).

Решение.

Пример 6.2. Вычислить значение Δu при емкостной нагрузке, если cos φ₂, = = 0,7, u_a = 4% и u_P = 4,5%.

Решение:

Полученное в примере 6.2 отрицательное значение изменения напряжения показывает, что при емкостной нагрузке и при достаточно большом угле φ₂ возможны случаи некоторого повышения вторичного напряжения.

При изменении нагрузки можно считать, что значение изменения напряжения будет меняться пропорционально нагрузочному току I₂. Чтобы в этом убедиться, достаточно установить, что входящие в формулу активное и реактивное падения напряжения также изменяются пропорционально нагрузочному току.

В формуле реактивного падения напряжения

u_P=(I₂ω₂D_CPΔK_P)/806e_ωH₀

при изменении нагрузки все величины, кроме I₂, имеют постоянное значение, поэтому u_P = I₂.

Активное падение напряжения равно сумме активных падений напряжения в первичной и вторичной обмотках

u_a=u_a1+u_a2=(I₁r₁100)/U₁+(I₂r₂100)/U₂

Заменив I₁ через I₂ω₂/ω₁ и пренебрегая изменением сопротивлений r₁ и r₂, возникающим от изменения температуры обмоток, и незначительным изменением напряжения U₂, можно записать

т. е. получаем, что активное падение напряжения также пропорционально нагрузочному току.

Если в формуле (6.4) изменения напряжения пренебречь третьим членом ввиду его относительно малой величины,т. е. если пользоваться формулой (6.5), то легко видеть, что поскольку величины u_a и u_Pпропорциональны нагрузочному току I₂, то и изменение напряжения Δu также ему пропорционально

Δu = I₂.