Вывод расчетной формулы напряжения рассеяния

Напряжение рассеяния определяется по основной формуле напряжения трансформатора

Uр = 4,44fωФр•10-4 в,

где Фр — общий поток рассеяния, проходящий вдоль обмоток и сцепленный с одним витком обмотки.

Индукция Вр в любой точке магнитного поля пропорциональна намагничивающей силе (ампер-виткам), охватывающей эту точку или, для трансформатора, цилиндрическую поверхность, проведенную через какую-либо магнитную линию потока рассеяния.

На рис. 5.3 изображены в разрезе обе обмотки и диаграмма распределения магнитной индукции, поясняющие вывод формулы напряжения рассеяния.

Как было сказано выше, первичная и вторичная намагничивающие силы равны между собой и направлены противоположно, т. е.

I1ω1+ I2ω2 = 0.

По краям зоны обмоток (точки О1 и О2) индукция равна нулю, так как нет ампер-витков, охватывающих силовые линии, находящиеся на крайних поверхностях обмоток. В толще катушек индукция будет увеличиваться по направлению от края катушки к главному каналу,

потому что поток создается теми ампер-витками, которые охватывают данную магнитную линию или с которыми сцеплена магнитная линия.

Наибольшая индукция потока рассеяния будет в главном канале и она будет одинаковой по всей ширине канала. Обычно предполагается, чтобы не усложнять хода рассуждений, что ампер-витки по сечению обмотки распределены с равномерной плотностью. Тогда распределение ампер-витков, а следовательно, и индукции Вр в радиальном направлении зоны обмоток может быть изображено диаграммой в виде трапеции, называемой трапецией Каппа, как это показано на рис. 5.2 и 5.3.

Произведение ωФр= ωBРF называется потокосцеплением. Так как значения ω и ВР являются величинами переменными, то общее потокосцепление определяется как сумма элементарных потокосцеплений

ωФр=Σ ωХBХdFX

вывод расчетной формулы напряжения рассеяния - student2.ru

Рис. 5.3. Эскиз, поясняющий вывод формулы напряжения рассеяния

Для облегчения расчет производится раздельно по каждому из трех отдельных участков зоны обмоток с радиальными размерами а1, а и а2, для которых находится значение потокосцепления.

На среднем участке а (главного канала) ампер-витки и поток постоянны по величине, так как ω и Вр не меняют своих значений, поэтому потокосцепление на этом участке будет

(ωФр)a = ωBРFa = ωBРπ Dcpa,

где Fa= πDcpa — площадь сечения участка а, см2;

Dcp — средний диаметр главного канала рассеяния, см.

Любая магнитная линия участка а будет сцеплена со всеми витками либо первичной обмотки I, либо вторичной обмотки II.

Расчет потокосцепления на участке a1 производится путем интегрирования элементарных потокосцеплений на этом участке.

Выделим в обмотке I элементарную зону в виде силовой трубки (цилиндра) с толщиной стенки dx, на расстоянии х от точки O1, находящейся на крайней поверхности обмотки I, которая будет являться началом координат.

Магнитный поток этой трубки

x = BxdFx = Вp (х/а1)π (D1— a1 + 2x) dx.

где D1 — средний диаметр обмотки I, см.

Этот магнитный поток сцеплен с витками ωx= ω1(х/а1) , расположенными на рис. 5.3 влево от зоны dx.

Следовательно, общее потокосцепление на участке a1

вывод расчетной формулы напряжения рассеяния - student2.ru

Для удобства интегрирования полученный интеграл разбивается на два интеграла. В первый интеграл из членов, заключенных в скобки, войдут члены D1—a1, а во второй — 2х.

После вынесения постоянных величин за знак интеграла получим:

1) вывод расчетной формулы напряжения рассеяния - student2.ru

2) вывод расчетной формулы напряжения рассеяния - student2.ru

Отсюда потокосцепление на участке ах будет равно сумме полученных результатов, т. е.

вывод расчетной формулы напряжения рассеяния - student2.ru

Аналогичным образом определяется общее потокосцепление на участке а2 (приводится без вывода)

вывод расчетной формулы напряжения рассеяния - student2.ru

где D2— средний диаметр обмотки II, см.

Число витков ω2 обмотки II приведено к числу витков да, обмотки I через обычную формулу приведения

ω'2 = ω2 E1/E2 = ω1.

Таким образом, общее потокосцепление всей зоны обмоток будет равно сумме потокосцеплений трех участков, т. е.

ωФр = (ωФр)а + (ωФр)а1 + (ωФр)а2 = ω1Вpπ[(DСРа +(D1+a1/2)(a1/3) +(D2 - a2/2)(a2/3)]

У силовых трансформаторов, класс напряжения которых не превышает 35 кв, радиальные размеры обмоток ВН и НН мало отличаются друг от друга, поэтому с достаточной для практических расчетов точностью можно положить, что a1≈a2. Это сильно упростит полученное выражение для потокосцепления.

Раскрыв круглые скобки и заменив D1 и D2 соответственно через Dcp—а—а1 и Dcp+a+a2, будем иметь:

ωФр = ω1Вpπ[(DСРа +(DСР –a - a1/2)(a1/3) +(DСР +a + a2/2)(a2/3)]=

ω1ВpπDСР [(a+ (a1+a2)/3)) + (a/3)(a2 – a1)+ (a22 - a21) /6]

Легко видеть, что при a1≈a2, т. е. а2 - a1≈0, два последних члена малы, и поэтому ими можно пренебречь. Благодаря этому выражение в квадратных скобках значительно упрощается:

ωФр = ω1ВpπDСР (a+ (a1+a2)/3)= ω1ВpπDСРΔ

где Δ= a+ (a1+a2)/3 называется приведенным, или редуцированным каналом рассеяния.

В тех же случаях, когда размеры a1 и a2значительно отличаются друг от друга, как, например, в высоковольтных трансформаторах, необходимо выражение в квадратных скобках вычислять точно, без указанного упрощения.

Для воздушной (т. е. немагнитной) среды справедлива следующая формула зависимости индукции от намагничивающей силы (ампер-витков) и длины магнитного пути:

Вp=(0,4π√2Iω)/lP

После подстановки этого выражения формула потокосцепления примет вид

_

ωФр =(0,4π2√2I1ω21DСРΔ)/ lP

Это выражение следует подставить в формулу напряжения

UP=4,44fωФр10-4 =(4,44f0,4 π2√2 I1ω21DСРΔ•10-4)/ lP , в

вывод расчетной формулы напряжения рассеяния - student2.ru Сделав замену lp=H0/K0 и 4,44 = π2√2 и выразив напряжение

рассеяния в % от номинального напряжения (умножив на 100), получим

UP=100/U1= (0,8π3f I1ω21DСРΔKp•10-4)/H0=(2480f I1ω21DСРΔKp•10-4)/H0•U1, %

И, наконец, сделав последнюю подстановку f = 50 гц и U11 =eω в/виток, окончательно получим практическую формулу для расчета напряжения рассеяни

UP= IωDСРΔKp/806eωH0, %

При расчете трансформатора обычно бывает необходимо получить заданное значение напряжения рассеяния.

Рассмотрение полученной формулы показывает, что при необходимости изменения расчетного значения Uр наиболее целесообразно в первую очередь изменять размер а — ширину главного канала рассеяния. Если это почему-либо сделать нельзя (например, по изоляционным соображениям или если размер а надо слишком намного увеличивать), то следует либо изменять высоту обмотки Но, либо изменять число витков w, хотя это требует уже полного перерасчета трансформатора.

Наши рекомендации