Р–n-переход. Диффузия носителей тока

1. Сила прямого тока в p–n-переходе:

J = J_s[exp(eU/kT) – 1],

где U– внешнее напряжение, приложенное к p–n-переходу в прямом направлении ((+) к р-области, (–) к n-области);J_s – предельное значение обратного тока (ток насыщения). Сила обратного тока: , [–E_g/(kT)].

2. Коэффициенты диффузии электронов D_nи дырок D_p

D_n = kTu_n/e; D_p = kTu_p/e,

где е = 10^-19 Кл – заряд электрона;u_n и u_p– подвижности электронов и дырок соответственно.

3. Коэффициент амбиполярной диффузии

D_эфф = (n + p)/(n/D_p + p/D_n),

где nи р – концентрация электронов и дырок соответственно.

Для собственного полупроводника (n=p):

D_эфф = 2D_nD_p/(D_n + D_p).

4. Диффузионная длина L:

L = (D_эффt)^1/2,

где t – время жизни неравновесных носителей тока.

5. Концентрация неравновесных носителей тока:

Dn(x) = Dn(0) e^-x/L,

где Dn(0) – концентрация неравновесных носителей тока в месте их образования, например, на поверхности освещенного полупроводника; х– координата (расстояние от освещенной поверхности полупроводника);L – диффузионная длина.

Примеры решения задач

Задача 1

На расстоянии 0,48 мм от освещенной поверхности собственного кремния концентрация неравновесных носителей тока спадает в 3 раза. Определить время жизни неравновесных носителей тока, если температура кремния 300 К, а подвижность электронов и дырок при этой температуре соответственно 1500 cм²/(В ) и 500 cм²/(В ). Собственная концентрация в Siпри данной температуре 10¹⁰см^-3.

Дано: ni= 1016 м-3 un = 0,15 м2/(В ) up = 0,05 м2 (В ) Т = 300К x = 10-4 м	Решение: Время жизни неравновесных носителей тока можно определить из соотношения L= (Dэффt)1/2 t =L2/Dэфф. В этой формуле не известны ни диффузионная длина, ни коэффициент амбиполярной диффузии. Диффузионную длину найдем из соотношения:
t = ?

Dn(x) = n(o)e^-x/L Dn(x)/Dn(0) = e^-x/L ln(Dn(x)/Dn(0)) = –x/L.

Следовательно,

L = x(ln(Dn(0)/Dn(x))) = 10^-4/ln3 = 10^-4м.

Чтобы найти коэффициент амбиполярной диффузии, надо сначала найти коэффициенты диффузии электронов и дырок:

D_n = kTu_n/e; D_{p =} kT u_p/e.

Подставляя числа, получаем:

D_n = 10^-3м²/с; D_p = 10^-3м²/c.

Для собственного полупроводника (n=p=n_i) коэффициент амбиполярной диффузии равен:

D_эфф = 2D_nD_p/(D_n + D_p) = 10^-3м²/c.

И, наконец, вычисляем время жизни неравновесных носителей тока:

t = L²/D_эфф = 10^-3 с.

Эффект Холла

1. При не слишком сильных магнитных полях холловская разность потенциалов U_Hпропорциональна магнитной индукции поля В, силе токаIи обратно пропорциональна толщине пластиныb:

U_H = R_H BI/b = R_H Bja, (1)

где j – плотность тока в образце; а – ширина образца; R_H – постоянная Холла, зависящая от материала образца.

2. Для полупроводников со смешанной проводимостью, у которых концентрации электронов и дырок сравнимы друг с другом, постоянная Холла вычисляется из следующего соотношения:

R_H = 3p(pu_p² – nu_n²)/[8e(pu_p + nu_n)²], (2)

где n и р – концентрации электронов и дырок, соответственно;u_nиu_p– подвижности электронов и дырок соответственно.

а) Для полупроводников р-типа выражение для R_Hпримет вид

R_H = 3p/(8ep);

б) Для полупроводников n – типа (при n>>p):

R_H= 3p/(8en);

в) Для собственных полупроводников, в которых , выражение (2) принимает вид

R_H= 3p(u_p – u_n)/[8en_i(u_p + u_n)].

Примеры решения задач

Задача 1

Тонкая пластина из кремния n-типа шириной 2 см помещена перпендикулярнолинияминдукции однородногомагнитногополявеличиной 0,5Тл. При плотности тока, направленной вдольпластины,равной 2мкА/мм², холловская разность потенциалов оказалась равной 2,8В. Определить концентрацию основных носителей тока.

Дано: а = 0,02 м В = 0,5 Тл j = 2 А/м2 UH = 2,8 B	Решение:   В данной задаче рассматривается полупроводник n-типа, для которого постоянная Холла определяется из соотношения: RH = 3p/(8en). (1)
n = ?

Чтобы определить концентрацию n носителей, нужно знать постоянную Холла R_H, которую можно выразить из формулы для холловской разности потенциалов:

U_H=R_HBja.

Отсюда

R_H= U_H/(Bja). (2)

Приравняем правые части выражений (1) и (2):

3p/(8en) = U_H/(Bja).

Отсюда получим концентрацию основных носителей тока

n = 3pBja/(8eU_H). (3)

Подставляя в формулу (3) числовые значения, получим:

n = 10¹⁶м^-3.

Задания на контрольную работу № 6

601.Вычислить период идентичности вдоль направления [021] в решетке AgBr, если плотность кристалла равна 3,87 г/см³. Решетка гранецентрированная кубическая.

602. Кристаллическая плоскость проходит через узлы [[110]], [[201]], [[321]] решетки. Написать индексы Миллера для этой плоскости.

603.Система плоскостей в примитивной кубической решетке задается индексами Миллера (312). Найти наименьшие отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат.

604. Написать индексы Миллера для двух плоскостей, содержащих узлы с индексами: а) [[113]], [[112]], [[101]] и б) [[211]], [[010]], [[111]]. Найти отрезки, отсекаемые этими плоскостями на осях координат.

605. Система плоскостей примитивной кубической решетки задана индексами (142). Определить расстояние между соседними плоскостями, если параметр решетки равен 0,3 нм.

606. Определить параметр примитивной кубической решетки, если межплоскостное расстояние для системы плоскостей, заданныx индексами Миллера (323), при рентгеноструктурном анализе оказалось равным 0,17 нм.

607. Три системы плоскостей в примитивной кубической решетке заданы индексами Миллера: а) (111); б) (011); в) (010). Определить отношения межплоскостных расстояний: d₁₁₁: d₀₁₁: d₀₁₀.

608. Барий имеет объемноцентрированную кубическую решетку. Плотность кристалла бария равна 10³ , а молярная масса 10^–3 . Определить параметр решетки.

609.Золото имеет гранецентрированную кубическую решетку. Плотность золота принять равной 10³ кг/м³, а молярную массу 10^-3 . Определить параметр решетки и расстояние между ближайшими соседними атомами.

610.Определить число элементарных ячеек в единице объема кристалла меди. Решетка гранецентрированная кубическая. Плотность меди равна 10³ , а молярная масса 10 ^–3 .

611.Молибден имеет объемноцентрированную кубическую решетку. Вычислить плотность молибдена и расстояние между ближайшими соседними атомами. Параметр решетки равен 0,315 нм, а молярная масса – 10^–3 .

612.Найти плотность кристалла неона, если известно, что решетка гранецентрированная кубическая. Постоянная решетки равна 0,451 нм, а молярная масса 10^-3 .

613.Определить молярную массу кристалла, если известно, что расстояние между ближайшими соседними атомами равно 0,304 нм. Решетка объемноцентрированная кубическая. Плотность кристалла 10³ .

614.Пользуясь классической теорией, вычислить удельные теплоемкости кристаллов каменной соли и флюорита (KClи CaF₂). Относительные атомные массы: A(K) = 39;A(Cl) = 35;A(Ca) = 40;A(F) = 19.

615.Вычислить по классической теории теплоемкость кристалла NaClобъемом 100 см³. Плотность кристалла 10³ .

616.Определить изменение внутренней энергии кристалла корунда (Al₂O₃) при нагревании от 30^oCдо150^oC. Масса кристалла 30 г. Молярная масса Al: 10^-3 , кислорода: 10^-3 . Условие считать выполненным.

617.Вычислить частоту Дебая в кристалле золота. Для золота температура Дебая равна 180 К.

618.Медный образец массой 50 г находится при температуре 10 К. Определить количество теплоты, необходимое для его нагревания до температуры 15 К. Температуру Дебая для меди принять равной 300 К. Условие T<<Q_D считать выполненным. Молярная масса меди 10 ^–3 .

619.Вычислить по теории Дебая теплоемкость цинкамассой 80г при температуре 12 К. Температура Дебая для цинка 308 К. Молярная масса цинка – 65·10^-3 .

620.При нагревании серебра массой 10 г от температуры 10 К до температуры 20 К было затрачено количество теплоты 0,71 Дж. Определить температуру Дебая серебра. Условие T<<Q_D считать выполненным.

621.Используя теорию Дебая, вычислить удельную теплоемкость железа при температуре 15 К. Принять температуру Дебая для железа равной 467 К. Молярная масса железа 56 . Условие T<<Q_D считать выполненным.

622.Вычислить частоту Дебаядля серебра, если при температуре 20 К молярная теплоемкость равна 1,7 Дж/(моль ).

623.Вода при температуре 0^oCпокрыта слоем льда толщиной20 см. Температура воздуха равна –10^oC. Определить количество теплоты, переданной водой за время 1 час через поверхность льда площадью 10 см². Теплопроводность льда 2,2 Вт/(м ).

624.Вычислить длину волны фононов в вольфраме, соответствующую частоте w = 0,1w_D, если для вольфрама плотность 10³ кг/м³, молярная масса 10 ^-3 кг/моль.

625.Вычислить среднюю длинусвободного пробега фононов в кварце (SiO₂), если теплопроводность кварца13 Вт/(м ), молярная теплоемкость 44 Дж/(моль ) и усредненная скорость звука5 км/с. Плотность кварца 10³ кг/м³.

626.Температура Дебая для меди равна 309 К. Определить длину волны фононов, соответствующих частоте n = 0,1 n_Dи усредненную скорость звука в меди. Плотность меди 10³ , молярная масса 10 ^-3 .

627.Длина волны фонона, соответствующего частоте w = 0,01 w_D, равна 52 нм. Пренебрегая дисперсией звуковых волн, определить температуру Дебая Q_D, если усредненная скорость звука в кристалле равна 4,8 км/c.

628.Определить число свободных электронов, которое приходится на один атом Naприпритемпературе 0 К. Энергия Фермиравна 3,12 эВ, плотностькристалла 970 кг/м³.

629. Вычислить среднюю кинетическую энергиюэлектронов в металле, если энергия Ферми равна 7 эВ.

630. Определить максимальную скорость электронов в металле при температуре 0К, если энергия Ферми равна 5 эВ.

631.Определить среднюю дрейфовую скорость носителей тока в образце из натрия, если плотность тока, протекающего по образцу, равна 2 А/мм², плотность кристалла натрия 970 кг/м³, а молярная масса 23 г/моль.

632.Собственный полупроводник при температуре 300 К имеет сопротивление 10⁵ Ом. Если его нагреть до температуры 400 К, то его сопротивление уменьшится до 10⁵ Ом. Найти ширину запрещенной зоны.

633. Кремниевый образец нагревают от температуры 0^оС до 10^оС. Во сколько раз возрастет его удельная проводимость? Ширину запрещенной зоны принять равной 1,12 эВ.

634.Образец собственного полупроводника германия при температуре 27^оС обладает удельным сопротивлением 0,47 . Определить удельную проводимость германия при температуре 127^оС. Ширину запрещенной зоны принять равной 0,66 эВ.

635.Во сколько раз изменится сопротивление германиевого образца, если его охладить от комнатной температуры 20^оС до температуры жидкого азота (77К). Ширину запрещенной зоны считать равной 0,72 эВ.

636.Для приборов на основе германия предельная рабочая температура (температура, при которой собственная концентрация носителей тока становится сравнимой с примесной) равна 75^оС. Определить предельную рабочую температуру для приборов на основе кремния. Ширина запрещенной зоны германия равна 0,72 эВ, а кремния 1,1 эВ.

637.В чистом германии при температуре 300 К ширина запрещенной зоны равна 0,72 эВ. На сколько надо повысить температуру полупроводника, чтобы концентрация электронов в зоне проводимости увеличилась в два раза?

638.При температуре 300 К концентрация электронов в зоне проводимости равна 10¹⁶ м^-3. Определить положение энергии Ферми относительно дна зоны проводимости и ширину запрещенной зоны при температуре 0 К. Плотность состояний в зоне проводимости принять равной 10²⁵ м^-3.

639.При температуре 300К удельная электропроводность кремния равна 10^-4 , подвижность электронов 0,135 м²/(В ), а подвижность дырок 0,048 м²/(В ). Определить концентрацию собственных носителей. Какая часть полного тока обусловлена электронами?

640.Определить подвижность носителей тока в кремниевом образце толщиной 10 мкм, имеющем концентрацию электронов 10¹⁸ м^-3, если при подаче на образец напряжения 5В через него протекает ток плотностью 10⁴ А/м².

641.При температуре 300К концентрация ионизированных примесей 10²² м^-3. Найти положение уровня Ферми, приняв плотность состояний у дна зоны проводимости равной 10²⁵ м^-3.

642.В образец кремния вводится примесь n-типа с концентрацией 10²³ м^-3. После этого концентрация неосновных носителей в нем при температуре 300 К составляет 10¹⁰ м^-3. Определить концентрацию собственных носителей n_iв кремнии при температуре 300К в предположении, что все примеси ионизированы.

643. Считается, что полупроводниковый материал пригоден для использования в приборе, если при рабочих температурах концентрация собственных носителей м^-3. Определить максимальнуюрабочую температуруприборов наоснове арсенида галлия (GaAs), у которого ширина запрещенной зоны равна 1,43 эВ, плотность состояний у дна зоны проводимости 10²³ м^-3, а у потолка валентной зоны 10²⁴ м^-3. При этом можно считать, что величины ширины запрещенной зоны и плотностей состояний не зависят от температуры.

644. В слиток германия одновременно введены сурьмас концентрацией 10²⁰м^-3 и галлий с концентрацией 10²⁰м^-3. Найти удельную проводимость слитка при условии, что все примесные атомы ионизированы, а подвижность электронов 0,36 м²/(В ); сурьма является донором, а галлий – акцептором.

645. Образец германия, имеющий при температуре 300 К собственную удельную проводимость 10^-4 , легирован донорной примесью с концентрацией 10²¹м^-3. Найти концентрацию дырок. Определить, какая часть тока обусловлена дырками. Подвижности электронов и дырок при температуре 300К принять соответственно равными 0,135 м²/(В ) и 0,048 м²/(В ).

646.В чистом германии концентрация собственных носителей при температуре 300 К равна 10¹⁹м^-3. Подвижности электронов и дырок при этой температуре соответственно равны 0,4 м²/(В ) и 0,2 м²/(В ). Определить проводимость чистого германия и германия с концентрацией акцепторов 10²¹ м^-3.

647.Определить коэффициент амбиполярной диффузии в кремнии при температуре 300К, если концентрация электронов в Siравна 10¹¹ см^-3, а подвижность электронов и дырок соответственно равна1500 cм²/(В ) и500 см²/(В ). Собственная концентрация носителей 10¹⁰см^-3.

648.Определить коэффициент амбиполярной диффузии в полупроводнике, если известно, что на расстоянии 0,7 мм от его освещенной поверхности концентрация неравновесных носителей тока спадает в два раза, а время их жизни равно 500 мкс.

649.Коэффициент амбиполярной диффузии в полупроводнике равен 25 см²/c, а время жизни неравновесных носителей тока 200 мкс. Определить концентрацию неравновесных носителей тока на расстоянии 0,5 мм от освещенной поверхности полупроводника, если их концентрация на поверхности 10¹⁵ см^-3.

650.Подвижность дырок в собственном полупроводнике при температуре 300К равна 600 см²/(В ). Определить подвижность электронов, если коэффициент амбиполярной диффузии равен 30,5 см²/c.

651.Определить время жизни неравновесных носителей тока в собственном кремнии при температуре –20^oC, если диффузионная длина равна 2 мм. Подвижности электронов и дырок соответственно равны1500 см²/(В ),500 cм²/(В ).

652.Образец германия n-типа имеет удельное сопротивление 0,015 и значение постоянной Холла 10^-3 м³/Кл. Определить концентрацию основных носителей и их подвижность. Дырочной проводимостью пренебречь.

653.Удельная проводимость антимонида индия р-типа 10³ , а подвижность дырок в нем 0,4 м²/(B ). Определить постоянную Холла и концентрацию дырок. Электронной проводимостью пренебречь.

654. Подвижности электронови дырокв кремниисоответственноравны 0,15 м²/(B ) и 0,05 м²/(B ). Вычислить постоянную Холла для кремния, если его удельное сопротивление 620 . Кремний рассматривать как собственный полупроводник.

655.Полупроводник в виде тонкой пластины шириной 1 см и длиной 10 см помещен в однородное магнитное поле с индукцией 0,2 Тл. Вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости пластины. К концам пластины приложено постоянное напряжение 300 В. Определить холловскую разность потенциалов на гранях пластины, если постоянная Холла равна 0,1 м³/Кл, а удельное сопротивление – 0,5 .

656.Удельное сопротивление кремния с примесями равно 0,01 . Определить концентрацию дырок и их подвижность. Принять, что полупроводник обладает только дырочной проводимостью, а постоянная Холла равна 10^-4 м³/Кл.

657.р–n-переход находится под обратным напряжением 0,1 В при Т = 300К. Его сопротивление 692 Ом. Каково сопротивление перехода при прямом напряжении той же величины?

658.Сопротивление p–n-перехода при Т = 300К, находящегося под прямым напряжением 0,1 В, равно 10 Ом. Определить сопротивление перехода при обратном напряжении.

659.Прямое напряжение, приложенное к p–n-переходу, равно 0,2 В. Вычислить отношение сил тока через переход при температурах 273 К и 300К. Ширина запрещенной зоны равна 1эВ.

660.Определить,восколько развозрастет силатока насыщениячерез p–n-переход для кремниевого прибора, если его температура в процессе работы возрастет от 20^оС до 120^оС. Ширину запрещенной зоны для кремния принять равной 1,1эВ.

661.Определитьвеличинупрямогонапряжения, прикотором ток черезp–n-переход равен предельномузначениюобратного тока(выпрямлениеотсутствует). Температуру принять равной 20^oC.

ПРИЛОЖЕНИЯ

1. Некоторые физические постоянные (округленные значения)

Физическая постоянная	Обозначение	Значение
Гравитационная постоянная	G
Ускорение свободного падения	g	9,81 м/с2
Постоянная Авогадро	NA	моль-1
Универсальная газовая постоянная	R	8,31 Дж/(моль )
Постоянная Больцмана	k	10-23 Дж/К
Элементарный заряд	е	Кл
Скорость света в вакууме	с	м/с
Электрическая постоянная		Ф/м
Магнитная постоянная		Гн/м
Постоянная Стефана-Больцмана
Постоянная Вина	b
Постоянная Планка		Дж · с
Постоянная Ридберга	R
Энергия ионизации атома водорода		Дж