Собственные и примесные полупроводники

Собственные полупроводники

1. Концентрация электронов в зоне проводимости

n = 2(2p kT)^3/2h^-3 exp[-(E_c-E_F)/(kT)] = N_сexp[(m - E_с)/(kT)],

где N_c–эффективное число состояний (т.е. плотность состояний), приведенное ко дну зоны проводимости;(E_F -E_с) энергия Ферми, отсчитанная от дна зоны проводимости;k= 1,38 10^-23 Дж/К постоянная Больцмана;Т – температура полупроводника в кельвинах;h = – постоянная Планка; – эффективная масса электрона.

2. Концентрация дырок в валентной зоне

p = 2(2pm_pkT)^3/2h^-3exp[(E_V– E_F)/(kT)] = N_V·exp[(E_V– E_F)/(kT)],

где N_V – эффективное число состояний валентной зоны, приведенное к потолку зоны;(E_V– E_F) - энергия Ферми, отсчитанная от потолка валентной зоны;E_V – энергия, соответствующая потолку валентной зоны;m_p – эффективная масса дырок.

3. Равновесная концентрация носителей в собственных полупроводниках

n_i = n = p = (N_сN_V)exp[–E_g/(kT)],

где E_g–ширина запрещенной зоны полупроводника.

4. Положение уровня Ферми в собственном полупроводнике

E_F –E_c = –E_g/2 + kT/2ln(N_V/N_с)

или

E_F - E_c = –E_g/2 + 3kT/4ln(m_n/m_p).

При Т = 0 или m_n = m_p уровень Ферми находится посередине запрещенной зоны.

5. Удельная проводимость

s = e(u_p + u_n) ,

где u_nи u_p–подвижности электронов и дырок соответственно.

Примесные полупроводники

6. Уравнение электронейтральности для электронного (донорного) полупроводника

n_n= p_n + n_d,

где n_n– концентрация электронов в зоне проводимости электронногополупроводника;p_n–концентрация дырок в валентной зоне электронного полупроводника;n_d– концентрация электронов, перешедших с донорных уровней в зону проводимости.

7. Уравнение электронейтральности для дырочного (акцепторного) полупроводника

p_p = n_p + p_A,

где р_р– концентрация дырок в валентной зоне дырочного полупроводника;n_p – концентрация электронов в зоне проводимости дырочного полупроводника;р_А – концентрация дырок, перешедших с акцепторных уровней в валентную зону.

В случае, когда все примеси ионизованы,

n_d~ N_d(или n_A~ N_A),

где N_dи N_A– концентрация атомов доноров и акцепторов, соответственно.

8. Закон действующих масс

Произведение концентраций электронов и дырок в полупроводнике не зависит от его легирования, а зависит только от температуры и равно квадрату концентраций носителей в собственном полупроводнике

.

9. Электропроводность электронного (донорного) полупроводника

s = s₀exp[–E_g/(2kT)] + s_0nexp[–Е_d/(2kT)],

где Е_d – энергия активации донорных примесей, s_0n = neu_n.

10. Электропроводность дырочного (акцепторного) полупроводника

s = s₀ exp[–E_g/(2kT)] + s_0pexp[–E_A/(2kT)],

где s_0p = epu_p; E_A– энергия активации акцепторных уровней.

Примеры решения задач

Задача 1

Вычислить положение уровня Ферми относительно дна зоны проводимости в полупроводнике с концентрацией ионизированных доноров10²³ м^-3. При температуре300 К плотность состояний у дна зоны проводимости 10²⁵м^-3.

Дано: Nd= 1023 м-3 Т = 300К Nc = 1025 м-3 k = 10-23 Дж/К	Решение: По условию задачи мы имеем дело с донорным полупроводником (n-типа), который находится при температуре Т>Ts, где Ts – температура, при которой происходит полное истощение примеси: Ts = Ed (k ln(3Nc/Nd))-1 (1)
(ЕF - Ec) = ?

Обычно энергия ионизации доноров порядка Е_d~ 0,01 эВ. Используя это значение и численные значения N_c и N_d, можно оценить величину T_s.Проведя вычисления по формуле (1), получим: T_s ~ 20K, т.е. T>>T_s.

Концентрация электронов в зоне проводимости при полном истощении донорных уровней становится равной концентрации примеси (n= N_Д). Она определяется выражением:

n = N_cexp[(Е_F- E_c)/(kT)]. (2)

Cледовательно, в нашем случае:

N_c/N_d= exp[-(Е_F-E_c)/(kT)]. (3)

Прологарифмируем выражение (3):

ln(N_c/N_d) = - (Е_F - Е_c)/(kT).(4)

Отсюда

(Е_F - Е_c) = – kTln(N_c/N_d). (5)

Подставляя в выражение (5) численные значения величин, проведем вычисления и определим положение уровня Ферми: (Е_F -Е_c) = - 0,143 эВ.

Задача 2

В германии при температуре 300К концентрация собственных носителей равна 10¹⁹ м^-3. Определить концентрацию электронов n_n, дырок р_nи доноров N_d, если n_n= 1,005 N_d.

Дано: Т= 300К ni = 1019 K nn = 1,005 NД	Решение: По условию задачи мы имеем дело с примесным полупроводником n-типа (донорный полупроводник). Используем уравнение электронейтральности: nn=pn+ Nd (1)
nn = ? pn= ? Nd=?

Подставляем условие для n_nв формулу (1):

1,005N_d = p_n + N_d,

откуда p_n = 10^-3N_d.

Для определения N_d используем закон действующих масс:

,(2)

откуда получаем

,

и, следовательно

N_d = n_i/0,071= 5,65 м^-3.

Теперь вычислим концентрацию электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне

n_n = 1,005 N_d= 10²⁰ м^-3

p_n = 5 10^-3N_d = 10¹⁸ м^-3

Итак, N_d = 10²⁰ м^-3 ,n_n = 10²⁰м^-3 , p_n = 10¹⁸ м^-3