Теплоемкостьи теплопроводность кристаллов

1. Согласно закону Дюлонга и Пти, молярная теплоемкость химически простых твердых тел при температурах, больших температуры Дебая Q_D:

C_m = 3R,

где R= 8,31 Дж/(моль ) универсальная газовая постоянная.

Для химически сложных тел (состоящих их атомов различных химических элементов) – закон Неймана-Коппа:

C_m = 3nR,

где n – общее число частиц в химической формуле соединения.

2. Удельная теплоемкость:

- для химически простых

с = C_m/m;

- для химически сложных веществ

.

3. Энергия фонона e связана с круговой частотой колебаний w соотно-шением

,

где = h/(2p) = .

4. Квазиимпульс фонона

p = h /l,

где h =

5. Скорость фонона (скорость звуковых волн в кристалле в пренебрежении дисперсией)

= wl/(2p).

6. Частота Дебая (максимальная частота колебаний кристаллической решетки)

w_D = (6p²n)^1/3 ,

где n = N/V –концентрация атомов в кристалле,

n= N_Ar/m,

где r - плотность кристалла;m - молярная масса.

7. Температура Дебая:

,

где k – постоянная Больцмана, k = Дж/K.

8. Поток тепловой энергии Q, проходящий через поперечное сечениеS стержня в единицу времени

Q = -l(dT/dx)S,

где l - теплопроводность;dT/dx – градиент температуры.

l = l /3,

где –групповая скорость фононов;l – средняя длина свободного пробега фононов между двумя последовательными столкновениями; –теплоемкость единицы объема.

9. Молярная теплоемкость кристаллической решетки при температуре T<< :

C_m = 12p⁴R (T/ )³/5 = 234R(T/ )³.

Примеры решения задач

Задача 1

Вычислить по классической теории теплоемкостькристалла бромида алюминия (AlBr₃) объемом 200см³. Плотность кристалла бромида алюминия равна 3,01 г/см³. Условие T> считать выполненным.

Дано: V = м3	Решение: Химическая формула соединения AlBr3 содержит четыре атома (n=4). Поэтому, согласно закону Неймана-Коппа, молярная теплоемкость кристалла:
С = ?

С_m = n3R = 99,7 Дж/моль К.

Теплоемкость всего кристалла

C= C_mm/m = C_mrV/m = 12RrV/m. (1)

По таблице Менделеева находим: A(Al) = 27, A(Br) = 80, следовательно M(AlBr₃) =267, а m = 0,267 кг/моль. Подставляя в формулу (1) числа, получаем

С = 225 Дж/K.

Задача 2

Вычислить длину волны фононов в свинце, соответствующую частоте w = 0,1w_D, если плотность свинца 11,3 г/cм³, а молярная масса 207 г/моль.

Дано: r = кг/м3 m = кг/моль w= 0,1 wD	Решение: Частота Дебая (максимальная частота колебаний кристаллической решетки) определяется выражением: wD = (6p2n)1/3, (1)
lF = ?

где – средняя скорость распространения колебаний(скорость звука) в кристалле;n – концентрация атомов в кристалле,

n= N_Ar/m. (2)

В пренебрежении дисперсией звука в кристалле:

l_F = 2p /w,

или, согласно условию задачи,

l_F = 20p /w_D.

Окончательно, пользуясь формулами (1) и (2), получаем

l_F = 20p(6p²N_Ar/m)^-1/3 (3)

Подставляя в формулу (3) N_A = 10²³и числовые данные из условия задачи, будем иметь: l_F = 10^-9 м.

Задача 3

Определить температуру Дебая для серебра, если известно, что для нагревания серебра массой 15 г от температуры 5 К до температуры 10 К надо затратить количество тепла 10^-2Дж. Условие T<< считать выполненным.

Дано: m= 0,015 кг Q = 6,8 10-2 Дж Т1 = 5 К Т2 = 10 К	Решение: Так как по условию задачи T<<Q, то можно воспользоваться формулой Дебая: Cm = (12/5)p4R(T/ )3 = 234R(T/ )3 (1) Теплоемкость С тела связана с молярной теплоемкостью Cm соотношением:
=?

С = C_mm/m (2)

Подставляя (2) в (1) и интегрируя по температуре от Т₁ до Т₂, получаем

Q = (3p⁴mR/5m ³) [T₂⁴ – T₁⁴]. (3)

Выразим из формулы (3) температуру Дебая:

= ((3p⁴mR/5mQ)[T₂⁴ – T₁⁴])^1/3. (4)

Произведем вычисления по формуле (4), учтя, что у серебра молярная масса равна m = 0,108 кг/моль: = 210 K.

Электронный газ в металлах

1. Концентрация электронов dn(e), энергия которых заключена в интервале значений от Е до Е + dЕ:

dn(Е) = (2m*)^3/2 (2p² )^-1Е^1/2 ( +1) ^-1,

где m^*и Е – эффективная масса и энергия электрона;m =E_F– энергия Ферми.

2. При Т = 0

E_F = ( /2m*) (3p²n) ^2/3.

3. Средняя энергия электронов при Т = 0:

<E> = 3/5

4. Температура Ферми

T_F = .

5. Температура вырождения

Т_в = 4/(9p) ^1/3T_F = 1,313T_F.

Примеры решения задач

Задача 1

Определить температуру вырождения для калия, если считать, что на каждый атом приходится по одному свободному электрону. Плотность калия r = 860 кг/м³.

Дано: r(K) = 860 кг/м3	Решение: Температура вырождения ТB согласно квантовой теории электронов в металле определяется выражением: ТB = h2n2/3/(2pkm), (1)
ТB = ?

где h= 10^-34Дж·с – постоянная Планка; k = 1,38 10^-23Дж/К – постоянная Больцмана;m= 10^-31кг – масса электрона;n – концентрация квазисвободных электронов в металле. Согласно условию,nравно концентрации Nатомов, которая определяется выражением:

N = N_Ar/m, (2)

где N_A –число Авогадро;r - плотность кристалла;m - молярная масса калия. По таблице Менделеева: m = 10^-3 кг/моль.

Полагая n = Nи подставляя выражение (2) в формулу (1) с учетом приведенных выше числовых данных окончательно получаем

Т_В = 3,12 10⁴ К.