Работа постоянной и переменной силы. Закон сохранения механической энергии
1. Работа постоянной силы
,
где 
– угол между вектором силы и перемещением.
2. Работа переменной силы
,
где 
– проекция силы на направление перемещения dS.
3. Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно
или 
.
4. Потенциальная энергия:
а) упруго деформированной пружины
,
где k– коэффициент жесткости пружины;x – абсолютная деформация;
б) гравитационного взаимодействия
,
где G – гравитационная постоянная; m1 и m2 – массы взаимодействующих тел; r – расстояние между ними (данные тела считаются материальными точками);
в) тела, находящегося вблизи поверхности Земли(в однородном поле силы тяжести)
,
где g – ускорение свободного падения тела; h– высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии h<<R, где R– радиус Земли).
5. Работа,совершаемая внешними силами, определяется как мера изменения энергии системы
.
6. Закон сохранения механической энергии
E = Ek + EП = const.
Примеры решения задач
Задача 1
К нижнему концу пружины жёсткостью 
Н/м присоединена другая пружина жёсткостью 
Н/м, к концу которой прикреплена гиря. Пренебрегая массой пружины, определить отношение потенциальных энергий пружин.
| Дано: | Решение: |
| k1 = Н/м k2 = Н/м | Так как на обе пружины действует одна и та же сила (mg), то силы упругости одинаковы для обеих пружин, т.е.  , (1) |
 = ? |
отсюда 
. (2)
Известно, что потенциальная энергия пружины имеет вид
.
Запишем выражение для потенциальных энергий первой и второй пружин:
и 
.
Разделим 
на 
:
. (3)
Подставив (2) в выражение (3), получим:
.
Задача 2
Поезд массой 600 т движется под гору с уклоном 0,3о и за 1 минуту развивает скорость 18 км/ч. Коэффициент трения равен 0,01. Определить среднюю мощность локомотива.
| Дано: | Решение: |
m = 600т =  кг  t = 1 мин = 60 с f= 0,01  | Средняя мощность, развиваемая локомотивом  , (1) где Fт – сила тяги. Среднее значение скорости  ,  , ускорение поезда  . |
| <N> = ? |
Запишем уравнение II закона Ньютона в проекции на направление движения:
,(2)
где 
.(3)
Тогда из уравнения (2) с учётом (3) запишем выражение для силы тяги локомотива:
, (4)
средняя мощность, развиваемая локомотивом, <N> вычисляется по формуле
.
Произведя вычисления, получим:
кВт.
Задача 3
Молот массой 5 кг, двигаясь со скоростью 4 м/с, ударяет по железному изделию, лежащему на наковальне. Масса наковальни вместе с изделием равна 95 кг. Считая удар неупругим, определить энергию, расходуемую на ковку (деформацию) изделия. Определить коэффициент полезного действия (КПД) удара.
| Дано: | Решение: |
| m1 = 5 кг m2 = 95 кг v1 = 4 м/с v2 = 0 | Систему, состоящую из молота, изделия и наковальни, считаем замкнутой во время удара, когда силы ударного взаимодействия значительно превышают равнодействующую сил тяжести и силы реакции опоры. К такой системе можно применить закон сохранения импульса. |
| Eдеф= ? |
Во время удара изменяется только кинетическая энергия тел, поэтому энергия Едеф, затраченная на деформацию, равна разности значений механической энергии системы до и после удара
, (1)
где u –общая скорость всех тел, входящих в систему, после неупругого удара. Эту скорость найдем на основе закона сохранения импульса
, (2)
откуда
. (3)
Подставив в формулу (1) значение u из выражения (3), определим Едеф:
. (4)
Полезной считается энергия, затраченная на деформацию. Поэтому КПД равен
. (5)
Подставив числовые значения заданных величин в формулу (5), получим:
.
Из выражения (5) видно, что КПД удара тем больше, чем больше масса наковальни по сравнению с массой молота.