Динамика вращательного движения

Из всех видов вращательного движения будем рассматривать только вращение тела вокруг неподвижной оси.

Момент силы

Момент силы, величина, характеризующая вращательный эффект силы при действии её на твёрдое тело; является одним из основных понятий механики. Различают момент силыотносительно центра (точки – полюса) и относительно оси.

Моментом силы (синонимы: крутящий момент, вращатльный момент, вертящий момент, вращающий момент) относительно неподвижной точки 0 (полюса) называется векторная величина равная векторному произведению радиус-вектора проведённого из точки 0 (полюса) в точку А приложения силы, на вектор силы = [ (Н•м). (Рис. 66).

Рис. 66.

Направлен вектор перпендикулярно плоскости, проходящей через 0 и Сторона, куда направляется выбирается условно. При правой системе координат вектор направляют в ту сторону, откуда поворот, совершаемый силой, виден против хода часовой стрелки.

Момент силы — аксиальный вектор. Он направлен вдоль оси вращения. Направление вектора момента силы определяется правилом буравчика (рис.67).

Рис. 67.

Модуль момента силы: M =F•r• = F•l, где: M – момент силы, F – приложенная сила, r – расстояние от центра вращения до места приложения силы, .l = r .sin α – плечо силы, т.е. длина перпендикуляра, опущенного из центра вращения на линию действия силы, α — угол, между вектором силы и вектором положения . Т.е. численно момент силы равен произведению модуля силы F на плечо l.

Направление момента силы можно также определить по правилу левой руки: четыре пальца левой руки поставить по направлению первого сомножителя , второй сомножитель входит в ладонь, отогнутый под прямым углом большой палец укажет направления момента силы . Вектор момента силы всегда перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и .

Моментом силы относительно неподвижной оси Z называется скалярная величина равная проекции на эту ось вектора момента силы , определённого относительно произвольной точки O данной оси Z (рис. 68). Момент силы относительно оси величина алгебраическая.

Рис. 68.

Пользуясь понятием момента силы можно по-новому сформулировать условия равновесия тела, закрепленного на оси. Это условие называется правилом моментов: если на тело, закрепленное на оси, действует много сил, то для равновесия тела, закрепленного на оси, алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на тело, должна быть равна нулю:

= М₁ + М₂ + … + М_n = 0.

Считают момент силы положительным (M_i >0), если эта сила, действуя в отдельности, вращала бы тело по часовой стрелке, и отрицательным (M_i >0) в противоположном случае (при этом нужно заранее условиться, с какой стороны мы будем смотреть на тело). Например, согласно рис.69, силам F₁ и F₂ следует приписать положительный момент, а силе F₃— отрицательный.

Рис. 69.

Примеры:

1). Гаечный ключ

Рис. 70. Момент силы, приложенный к гаечному ключу, направлен от зрителя.

2). Пусть на тело, в плоскости перпендикулярной оси вращения 0₁0₂ действует сила . Разложим эту силу на две составляющие: _n и (рис. 70).

Сила _n пересекает ось вращения и, следовательно, не влияет на вращение тела. Под действием составляющей тело будет совершать вращательное движение вокруг оси 0₁0₂. Расстояние r от оси вращения до линии вдоль которой действует сила , называется плечом силы . Моментом силы относительно точки 0 называется произведение модуля силы F на плечо r : M = F • r.

С учетом, что F = F• , то момент силы M = F•r• С точки зрения векторной алгебры это выражение представляет векторное произведение радиуса-вектора проведенного в точку приложения силы на эту силу.

Рис. 70.

Таким образом, момент силы относительно точки 0 является векторной величиной и равен: =[ , ],

Вектор момента силы направлен перпендикулярно к плоскости, проведенной через векторы и , и образует с ними правую тройку векторов (при наблюдении из вершины вектора видно, что вращение по кратчайшему расстоянию от к происходит против часовой стрелки).

Примеры:

1). Рычаги

Рычагом называют имеющее неподвижную ось вращения твердое тело, на которое действуют силы, стремящиеся повернуть его вокруг этой оси.

Примерами рычагов являются гаечные ключи, различные педали, щипцы для раскалывания орехов, двери и т. д.

Согласно правилу моментов, рычаг (любого рода) уравновешен только тогда, когда М₁ = М₂. Поскольку

М₁=F₁l₁ и М₂=F₂l₂,

Получаем F₁l₁ = F₂l₂. Из последней формулы следует, что

F₁/F₂ = l₂/l₁,

т. е. при равновесии рычага под действием двух сил модули этих сил обратно пропорциональны их плечам. Т..е. с помощью рычага можно получить выигрыш в силе тем больший, чем больше соотношение плеч. Это широко используют на практике.

Пара сил

Две равные по модулю антипараллельные силы, приложенные к телу в разных точках, называют парой сил. Примерами пары сил могут служить силы, которые приложены к рулевому колесу автомобиля (рис. 71 а), электрические силы, действующие на диполь (рис. 71 б), магнитные силы, действующие на магнитную стрелку (рис. 71 в ) и т. д.

Рис. 71.

Пара сил не имеет равнодействующей, т. е. совместное действие этих сил нельзя заменить действием одной силы. Поэтому пара сил не может вызвать поступательное движение тела, а вызывает только его вращение.

Если при повороте тела под действием пары сил направления этих сил не изменяются (рис. 71 б, в), то поворот тела происходит до тех пор, пока обе силы не окажутся действующими противоположно друг другу вдоль прямой, проходящей через ось вращения тела.

Пусть на тело, имеющее закрепленную ось вращения О, действует пара сил Р и Т. Моменты этих сил М₁=Fl₁<0 и М₂=Fl₂<0 (рис. 72). Сумма моментов М₁ + М₂ = F(l₁ + l₂) = F_l ¹ 0, следовательно, тело не находится в равновесии.

Рис. 72.

Кратчайшее расстояние l = l₁ + l₂ между параллельными прямыми, вдоль которых действуют силы, образующие пару сил, называют плечом пары сил; М = Fl -–это момент пары сил. Следовательно, момент пары сил равен произведению модуля одной из сил этой пары на плечо пары независимо от положения оси вращения тела при условии, что эта ось перпендикулярна плоскости, в которой находится пара сил.

Если пара сил действует на тело, не имеющее закрепленную ось вращения, она вызывает вращение этого тела вокруг оси, проходящей через центр масс данного тела.

Момент импульса

Моме́нт и́мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Следует учесть, что вращение здесь понимается в широком смысле, не только как регулярное вращение вокруг оси. Например, даже при прямолинейном движении тела мимо произвольной воображаемой точки, не лежащей на линии движения, оно также обладает моментом импульса. Наибольшую, пожалуй, роль момент импульса играет при описании собственно вращательного движения. Однако крайне важен и для гораздо более широкого класса задач (особенно — если в задаче есть центральная или осевая симметрия, но не только в этих случаях).

Момент импульса материальной точки относительно некоторого начала отсчёта (т.О – полюса) определяется векторным произведением её радиус-вектора и импульса (рис. 73):

= [ , ],( ), (Дж•с),

где — радиус-вектор частицы относительно выбранного неподвижного в данной системе отсчёта начала отсчёта, — импульс частицы.

Рис. 73.

Из рис.70: модуль момента импульса равен L = P•r• = P•l,

где l = r• плечо импульса, точка 0 – полюс, точка А – точка приложения вектора импульса .

Так как момент импульса определяется векторным произведением, он является псевдовектором, перпендикулярным обоим векторам и Однако, в случаях вращения вокруг неизменной оси, бывает удобно рассматривать не момент импульса как псевдовектор, а его проекцию на ось вращения как скаляр, знак которого зависит от направления вращения.

Если выбрана такая ось, проходящая через начало отсчёта, для вычисления проекции углового момента на нее можно указать ряд рецептов в соответствии с общими правилами нахождения векторного произведения двух векторов:

L = P•r• ,

где — угол между и , определяемый так, чтобы поворот от к производился против часовой стрелки с точки зрения наблюдателя, находящегося на положительной части оси вращения (рис. 74). Направление поворота важно при вычислении, так как определяет знак искомой проекции.

Рис. 74.

Из определения момента импульса следует его аддитивность. Для нескольких частиц момент импульса определяется как (векторная) сумма таких членов: = где _i и _i — радиус-вектор и импульс каждой частицы, входящей в систему, момент импульса которой определяется. В случае твёрдого тела задача сводится к интегрированию: = .

Пример .

Момент импульса материальной точки массой m, вращающейся по окружности радиусом r (рис. 75):

L = m• .

Рис. 75. На рис. момент импульса обозначен буквой .

Важнейшим законом природы является закон сохранения момента импульса: в инерциальной системе отсчёта момент импульса замкнутой системы частиц остаётся постоянным: = const.

Как доказано в современной физике (теорема Э.Нетер) закон сохранения момента импульса – следствие изотропности пространства[17].

Момент инерции

Известно, что твёрдое тело при вращении приобретает определённую устойчивость (катящиеся монета, обруч).

По аналогии с первым законом Ньютона можно утверждать:

Твёрдое тело, вращающееся вокруг некоторых осей, проходящих через центр масс, не испытывает действия внешних сил и сохраняет вращение неопределённо долго.

Пусть i-тая материальная точка массой m вращается по окружности радиуса r под действием силы (рис. 76).

Рис. 76.

Тогда по второму закону Ньютона: = m• ; = • r, где -–угловое ускорение точки; отсюда следует: = m•r• •r => M = •r = m•r²• , где M – момент силы F относительно оси вращения.

Обозначим: I = m•r², (кг•м²) – момент инерции вращающейся точки.

Тогда момент силы действующий на точку: = I• .

Момент инерции тела относительно оси вращения равен сумме моментов инерции всех его точек: I = . Математически задача сводится к интегрированию.

Момент инерции I – скалярная величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела во вращательном движении.

Одно и то же тело может иметь различные моменты инерции относительно разных осей.

При заданном относительно тела направлении оси момент инерции тела относительно этой оси будет наименьшим, если ось проходит через центр масс тела (т. С), т.е. I_c = min.

Среди осей, проходящих через центр масс тела, имеются три особые взаимно перпендикулярные оси. При равномерном вращении вокруг этих осей тело не оказывает влияния на подшипники. Эти оси называются главными осями. При произвольной форме тела нахождение их затруднительно. Но у симметричных тел положение главных осей определяется легко. Моменты инерции тела относительно главных осей называются главными моментами инерции.

Главные моменты инерции тел простой формы

Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей вращения
Тело	Описание	Положение оси a	Момент инерции Ja
	Материальная точка массы m	На расстоянии r от точки, неподвижная
	Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m	Ось цилиндра
	Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m	Ось цилиндра
	Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r2 и внутренним радиусом r1(труба)	Ось цилиндра
	Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс
	Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец
	Тонкостенная сфера радиуса r и массы m	Ось проходит через центр сферы
	Шар радиуса r и массы m	Ось проходит через центр шара

Теорема Штейнера

Момент инерции тела относительно произвольной оси определяется по теореме Штейнера:

Момент инерции тела I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I_c относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, произведения массы тела на квадрат расстояния между осями (рис. 77).

Рис. 77,

где 00^′ - произвольная ось, а – расстояние между осями.

Математическая формулировка теоремы Штейнера: I = I_c + m•a²,

где m – масса тела.

Пример.

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

,

где I₀ – момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс стержня.

Уравнение динамики вращательного движения твёрдого тел относительно неподвижной оси

Из предыдущего параграфа (Момент инерции) следует, что для вращающейся по окружности i- той материальной точки справедливо соотношение: _i = I_i• .

Для твёрдого тела, состоящего из n материальных точек:

= ; I= , получаем: =I• .(1)

Уравнение (1) – уравнение динамики вращающегося твёрдого тела (основное уравнение динамики вращательного движения):

Угловое ускорение твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, прямо пропорционально суммарному моменту всех внешних сил, действующих на тело, и обратно пропорционально его моменту инерции.

Представим уравнение (1) в виде: = = => I• = => = . С учётом того, что = m•r² = m• •r = , где -–момент импульса тела. Тогда: . (2)

Уравнение (2) – так же является уравнением динамики вращающегося твёрдого тела (основное уравнение динамики вращательного движения):

Скорость изменения момента импульса тела относительно некоторой оси равна результирующему моменту относительно той же оси всех внешних сил, приложенных к телу.

Из уравнений (1) и (2) следует: = I• = .

Тогда получаем: = I• (3)

Если система частиц замкнута, то на неё внешние силы не действуют, то момент внешних сил _внешн. = 0 => =0 => = const, т.е. получен закон сохранения импульса. С учётом уравнения (3) получаем:

= I• =>

= , т.е. угловая скорость обратно пропорциональна моменту инерции тела (см. рис. 78).

Рис. 78.

Подобное свойство используется при исполнении фигуристами пируетов на льду, сальто акробатами.

Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела

Вращающееся твёрдое тело обладает энергией.

При вращении твёрдого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементы массы ∆m_i описывают окружности различных радиусов r_i и имеют различные линейные скорости _i . Однако угловая скорость вращения всех точек тела одинакова:

= = = … = = … .

Кинетическая энергия тела – сумма кинетических энергий всех его тоек:

K = + + … + + … . Т.к.

K = + + … + + … = (∆m₁• + ∆m₂• + … + ∆m_i• + … ) = . Учтём, что момент инерции тела равен сумме моментов инерции всех его точек : I = .

С учётом последнего соотношения получаем окончательное выражение для кинетической энергии вращающегося твёрдого тела:

K = .

В случае плоского движения твёрдого тела его полная кинетическая энергия равна:

K = + .

Аналогия между поступательным и вращательным движениями

Между движением твердого тела вокруг неподвижной оси и движением отдельной материальной точки (или поступательным движением тела) существует тесная и далеко идущая аналогия. Каждой линейной величине из кинематики точки соответствует подобная величина из кинематики вращения твердого тела. Координате s соответствует угол φ, линейной скорости , угловая скорость w, линейному (касательному) ускорению а – угловое ускорение ε.

Поступательное движение	Вращательное движение
Кинематические характеристики движения
Путь	S	м	Угол поворота	j	рад
Время	t	с	Период	Т	с
Скорость		м/с	Угловая скорость	w	рад/с
Ускорение	a	м/с2	Угловое ускорение	e	рад/с2
Динамические характеристики движения
Масса	m	кг	Момент инерции	J	кг×м2
Сила	F	Н	Момент силы	M	Н×м
Импульс	P	кг×м/с	Момент импульса	L=J×w	кг×м2 /с
Второй закон Ньютона	F=ma; F=dp/dt	Уравнение динамики вращательного движения	M=J×e; M=dL/dt
Работа	dA=F×dS	Дж	Работа	dA=M×dj	Дж
Кинетическая энергия	EK=(m 2)/2	Дж	Кинетическая энергия	EKВР=(Jw2)/2	Дж
Мощность	N=F	Вт	Мощность	N=М×w	Вт

Поступательное движение можно рассматривать, как вращательное, с радиусом вращения, стремящимся к бесконечности, и угловой скоростью, стремящейся к нулю.