Руководство к лабораторным работам по физике

для студентов специальности «Лечебное дело»

Под редакцией Р.Н. Ростовцева

С.Е. Кажарской

О.В. Шуваевой

Тула

Издательство ТулГУ

УДК

Электричество, магнетизм, электромагнетизм, оптика. Часть II. Руководство к лабораторным работам по физике для студентов специальности «Лечебное дело» / под ред. Р.Н. Ростовцева, С.Е. Кажарской, О.В. Шуваевой. Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. 82 с.

ISBN 987–5–7679–1851–5

Данное учебно-методическое пособие содержит лабораторные работы по физике, которые будут предложены студентам первого курса специальности «Лечебное дело» в весеннем семестре.

Каждая лабораторная работа содержит краткое теоретическое введение с основными понятиями, формулами, формулировками законов, необходимыми для выполнения лабораторной работы и подготовки к ее защите.

Табл.15. Илл. 44. Библиогр.: 4 назв.

Печатается по решению библиотечно-издательского совета Тульского государственного университета

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Чуканов А.Н.

Ó Ростовцев Р.Н., Кажарская С.Е.,

Шуваева О.В., 2011

Ó Изд-во ТулГУ, 2011

ISBN 987–5–7679–1851–5

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 10

ИССЛЕДОВАНИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Цель работы:экспериментальное исследование зависимостиполной и полезной мощностей от отношения сопротивлений нагрузки и источника. Изучение мостовых схем и проверка справедливости закона Ома.

Приборы и принадлежности:источник постоянного питания, измерительное устройство с вольтметром и миллиамперметром, набор резисторов и монтажных проводов.

Теоретическое введение

Воздействие постоянного тока на организм зависит от силы тока, поэтому весьма существенную роль играет электрическое сопротивление тканей и прежде всего кожи. В медицине используют постоянный электрический ток для лечебных и диагностических целей.

Электрофорез – это метод, основанный на введении лекарственного средства через кожу или слизистые оболочки под действием постоянного тока.

Гальванизация — физиотерапевтический метод, основанный на пропускании через ткани организма постоянного тока под напряжением 60–80 В.

При гальванизации различных участков тела используют следующие различные токи:

конечности — 20–30 мА,

туловище — 15–20 мА,

части лица — 3–5 мА,

слизистые оболочки — 2–3 мА.

При проведении гальванизации в подлежащих тканях активизируются системы регуляции локального кровотока. Происходит расширение просвета дермальных сосудов и возникает гиперемия кожных покровов. Расширение капилляров и повышение проницаемости их стенок происходит не только в месте приложения электродов, но и в глубоко расположенных тканях, через которые проходит постоянный электрический ток.

Электропроводность тканей и органов зависит от функционального состояния и может быть использована как диагностический фактор.

Введем основные понятия и законы теории электричества.

Сила тока I равна заряду, протекаю­щему через поперечное сечение проводника (перпендикулярное вектору ) за единицу времени: . Сила тока измеряется в амперах.

Ток, текущий по проводнику, удовлетворяет закону Ома для участка цепи:

, (1)

где U – напряжение на проводнике, R – сопротивление проводника. Опыт показывает, что сопротивление проводника зависит от его формы, размеров и материала, из которого изготовлен проводник. Сопротивление однородного цилиндрического проводника может быть рассчитано по формуле

, (2)

где – длина проводника; S – площадь поперечного сечения; – величина, зависящая от материала проводника, называемая удельным сопротивлением материала: .

Таким образом, удельное сопротивление численно равно сопротивлению проводника, имеющего длину 1 м и площадь поперечного сечения 1 м². В системе СИ единицей измерения является 1 Ом×м.

Кроме удельного сопротивления используют также обратную величину , называемую удельной проводимостью или удельной электропроводностью.

Если проводник имеет произвольную форму или клеммы, через которые к нему подводят напряжение, расположены в произвольных точках его поверхности, то сопротивление этого проводника, определяемое законом Ома, сохраняет свой смысл, но его уже нельзя вычислить при помощи формулы (2) . Плотность тока будет различной в разных точках проводника. Поэтому распределение плотности тока в объеме проводника следует определять, используя фундаментальное соотношение

, (3)

называемое законом Ома в локальной форме. ( – вектор напряженности электрического поля в данной точке проводника).

Физическое содержание понятий удельного сопротивления и удельной проводимости можно понять, исходя из представлений классической электронной теории. В этой теории предполагают, что свободные электроны в металлах ведут себя подобно идеальному газу. Если в проводнике создать электрическое поле , то на хаотическое тепловое движение электронов, которому соответствует средняя скорость , наложится упорядоченное движение со средней скоростью – скоростью дрейфа. При этом

, (4)

где n – число электронов в единице объема; е – заряд электрона. Предполагается, что максимальное значение направленной составляющей скорости , которую приобретает электрон между двумя последовательными столкновениями с ионами кристаллической решетки, полностью теряется при столкновении. При этом энергия упорядоченного движения электронов преобразуется во внутреннюю энергию проводника, который нагревается при прохождении по нему электрического тока. Вычисления приводят к следующему выражению для средней скорости направленного движения электронов , (5)

где – средняя длина свободного пробега электронов, которую считают по порядку величины равной параметру кристаллической решетки материала; т – масса электрона. Подставляя формулу (5) в (6), получаем , что при сопоставлении с законом Ома в локальной форме дает для удельной проводимости выражение .

Данная лабораторная работа ставит своей целью исследовать цепь постоянного тока (задание 1), а также сопротивления и проверить выполнимость закона Ома (задание 2).

Источник ЭДС Е с внутренним сопротивлением r, нагруженный на внешнее сопротивление R , создает в цепи ток . Мощность Р=ЕI, развиваемая источником, делится между нагрузкой и источником в том же отношении , что и напряжение:

; . (6)

Мощность , выделяющуюся в нагрузке, называют полезной. Отношение – коэффициент полезного действия источника.

С увеличением внешнего сопротивления от нуля (короткое замыкание) до бесконечности (разомкнутая цепь) напряжение на нагрузке растет от нуля до значения равного ЭДС, а ток в цепи уменьшается от при коротком замыкании до нуля при разомкнутой цепи. Максимальное значение полезной мощности достигается при согласовании сопротивлений источника и нагрузки: R = r,

. (7)

Полная мощность Р с увеличением сопротивления нагрузки уменьшается и в режиме согласования составляет – это половина мощности, развиваемой источником в режиме короткого замыкания:

. (8)

Внешнее напряжение источника в режиме согласования равно половине ЭДС; КПД источника в этом режиме составляет 0,5.

Для определения сопротивления проводников существуют различные методы. Одним из них является метод измерения сопротивлений при помощи мостовой схемы. Мостовые схемы представляют собой разветвленные цепи, для которых применяются правила Кирхгофа.

Первое правило Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю:

. (9)

Это уравнение можно написать для каждого из N узлов цепи, однако, независимыми являются только (N – 1) уравнение. Направления токов в участках цепи выбирают произвольно, а знаки для определенности считают положительными для токов, подходящих к узлу, и отрицательными для токов, отходящих от узла.

Второе правило Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма напряжений в замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в этот контур:

. (10)

При заданном направлении обхода контуров положительными считаются те токи и ЭДС, направления которых совпадают с направлением обхода. Среди уравнений (10) независимыми будут только уравнения для тех контуров, которые нельзя получить наложением других контуров друг на друга.

Мостовая схема постоянного тока, часто называемая сокращенно мостом Уитстона, представляет собой замкнутый четырехуголник, составленный из сопротивлений (рис. 1). В диагональ АВ четырехугольника включается источник постоянного тока с электродвижущей силой , в диагональ СD – чувствительный гальванометр Г. Эта диагональ схемы и называется мостом в собственном смысле. Весь процесс измерений при помощи этой схемы связан с требованием равенства нулю тока в мосте, отсюда и распространение названия “мост” на всю схему. При произвольном соотношении сопротивлений, составляющих всю мостовую схему, через гальванометр, разумеется, должен идти ток, но существует одно определенное соотношение между сопротивлениями, при котором ток, идущий через гальванометр, обращается в нуль, хотя при этом во всех других звеньях схемы ток не равен нулю.

Если ток в гальванометре отсутствует, то применяя к контурам ADCA и CBDC второе правило Кирхгофа получим

. (11)

Применяя к узлам С и D первое правило Кирхгофа, будем иметь

. (12)

Из этих выражений следует

или . (13)

Сопротивлением обычно служит магазин сопротивлений. Сопротивлениями и служат части реохорда АВ. Реохордом называют однородную проволоку, изготовляемую из высокоомного материала. По проволоке реохорда перемещается подвижный контакт D, соединенный с гальванометром Г. Вследствие того, что проволока реохорда однородна и тщательно калибрована, отношение сопротивлений участков цепи AD и DB (плеч реохорда) на основании формулы (5) можно заменить отношением соответствующих длин плеч реохорда

. (14)

Порядок выполнения работы

Задание 1. Измерение мощностей и КПД источника.

Схема установки для исследования цепи постоянного тока представлена на рис. 2. Потенциометром R изменяется ЭДС и внутреннее сопротивление источника G. Для измерения ЭДС источника при бесконечно большом сопротивлении нагрузки размыкается перемычка П (гнезда 3, 4). Источник подключается положительным штырем в гнездо 2, отрицательным – в гнездо 1. Переключатель поставить в положение «I». Ток и напряжение на резисторе измеряются миллиамперметром PA и вольтметром PV. Показания стрелочных приборов умножаются на 10.

1.1 . Собрать измерительную цепь (рис. 2).

1.2 . Измерить ЭДС источника Е < 10 В, например, Е = 7 В (устанавливается ручкой R). Режим разомкнутой цепи осуществляется размыканием перемычки П.

1.3 . Подключить к источнику G нагрузку и, изменяя ток (меняя сопротивление нагрузки) от наименьшего до наибольшего значения записывать показания миллиамперметра I и вольтметра .

1.4 . Повторить наблюдения для второго положения ручки R (Е = 5 В).

1.5 . Вычислить для каждого значения тока I и напряжения значения ; , используя для этого формулы, приведенные в теоретическом введении к данной работе.

1.6 . Данные измерений и вычислений занести в таблицу 1.

Таблица 1. Результаты измерений

Е1, В	, В
I, mA
, Вт	, мВт
P, мВт
r, Ом
R /r
Е2, В	, В
I, mA
, Вт	, мВт
P, мВт
R
R/r

1.7. Построить на одном рисунке для каждого значения Е зависимости от отношения R /r.

1.8. Для каждого значения Е с помощью формулы (2) определить и внутренние сопротивления r источников.

Задание 2. Измерение сопротивлений и поверка выполнимости закона Ома.

Для измерения сопротивления резисторов и проверки выполнимости закона Ома используется схема рис. 3. Исследуемый резистор подключается к гнездам 8 и 9, источник питания – к 6 и 7 (6 – положительный). Исходное положение переменных резисторов R и – среднее. Положение переключателя “V”. Не допускать зашкаливания стрелки индикатора PA (регулировать R и ). Потенциометр позволяет изменять сопротивление в плечах моста от 0 до 22 кОм. Это соответствует показаниям шкалы от 0 до 70. Так как в расчетной формуле (13) используется отношение сопротивлений , то его можно заменить отношением показаний шкалы где d – отсчет по шкале .

2.1. Собрать измерительную цепь (рис. 3). Ручку потенциометра R поставить в среднее положение.

2.2. Подключить к гнездам 8 и 9 одно из неизвестных сопротивлений. Добиться нулевого показания индикатора вращением ручки потенциометра .

2.3. Записать показания шкалы d потенциометра . Вычислить значение

.

2.4. Медленно понижая, а затем, повышая при помощи потенциометра R напряжение питания, убедиться в сохранении равновесия моста (отсутствия тока в индикаторе).

2.5. Повторить наблюдения п.п. 2.2, 2.3, 2.4 для других сопротивлений.

2.6. Подключить к гнездам 8 и 9 полупроводниковый диод, сбалансировать

мост. Выполнить пункт 2.4, убедиться в том, что для полупроводниковых

приборов закон Ома не выполняется. Равновесие моста при изменении

напряжения питания не сохраняется, т.е. .

2.7. Результаты измерений и вычислений занести в табл. 2.

Таблица 2

d, дел
, кОм
, кОм
, кОм
, %

Контрольные вопросы

1. Что называется коэффициентом полезного действия источника?

2. Как полезная мощность зависит от сопротивления нагрузки? Вывести условие, при котором достигается максимальное значение полезной мощности. Чему равно это значение?

3. Чему равен ток короткого замыкания?

4. Как полная мощность зависит от сопротивления нагрузки? Чему равна полная мощность в режиме короткого замыкания и в режиме согласования?

5. Что такое сила тока, плотность тока? Запишите закон Ома для участка цепи и закон Ома для полной цепи.

6. Объясните механизм электропроводности металлов. Какова природа сопротивления в металлах? Что такое удельное сопротивление, от чего оно зависит? Запишите формулу для сопротивления однородного цилиндрического проводника.

7. Сформулируйте правила Кирхгофа. Поясните, как ими пользоваться.

8. Приведите схему моста Уитстона. Получите условие равновесия мостовой схемы. Объясните, как используется мостовая схема для измерения сопротивлений.

9. Что такое электрофорез и гальванизация? Как эти методы используются в медицинской практике?

Литература:

1. Савельев И.В. Курс общей физики, 3-е изд. – М: Наука, 1988, Т. 2, параграфы 31 – 38.

2. Ремизов А.Н. Медицинская и биологическая физика.– М: Высшая школа, 1987, главы 15.1 – 15.5.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 11

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ

В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ

Цель работы:изучение параметров и характеристик колебательного контура.

Приборы и принадлежности:генератор импульсов; осциллограф; измерительное устройство, включающее в себя R-, C- , L- элементы схемы, гнезда, набор соединительных проводов.

Теоретическое введение

Исходя из представлений о колебательном характере всех процессов в живых системах, предполагается, что живой организм есть сложно организованная система колебательных структур (осцилляторов) различной природы. Таким образом, биологический объект представляет собой совокупность колебательных цепей. Различные по природе колебательные процессы имеют одинаковые характеристики и описываются одинаковыми уравнениями. Отсюда следует целесообразность единого подхода к изучению колебаний различной физической природы.

В замкнутой электрической цепи, содержащей катушку индуктивности L и конденсатор С, могут возникнуть электромагнитные колебания. Поэтому такую цепь называют колебательным контуром. Если к электрическому контуру не подключены внешние источники переменной ЭДС, то колебания называются собственными. Иначе говоря, свободными (собственными) колебаниями называют такие колебания, которые совершаются без внешнего воздействия за счет первоначально накопленной энергии.

Если зарядить конденсатор от батареи до напряжения (рис. 1), а затем повернуть переключатель К, то конденсатор начнет разряжаться через катушку и в контуре возникнут электромагнитные колебания. Рассмотрим, как происходят эти колебания в контуре, сопротивление которого R = 0 . При замыкании контура в нем появляется ток I , создающий магнитное поле.

Возрастание тока ведет к возрастанию индукции магнитного поля катушки и, следовательно, к увеличению магнитного потока, пронизывающего катушку (соленоид). При всяком изменении магнитного потока, пронизывающего замкнутый контур, в этом контуре возникает ЭДС индукции (в нашем случае речь идет о ЭДС самоиндукции). Возникшая стремится скомпенсировать увеличение магнитного потока, что приводит к замедлению процесса разрядки конденсатора. В момент, когда конденсатор полностью разрядится, ток в цепи не прекращается сразу, а продолжает течь в том же направлении и, постепенно затухая, перезаряжает конденсатор (рис. 2). Затем процесс разрядки начинается снова, но теперь протекает в обратном направлении. В результате вторичной перезарядки конденсатора система возвращается в исходное состояние. Время, за которое происходит возвращение системы в исходное состояние, называется периодом собственных колебаний Т. Период колебаний в таком контуре равен , а частота .

Эта частота называется собственной частотой колебательного контура.

В начальный момент, когда конденсатор полностью заряжен, в нем накоплена электрическая энергия . Во время разрядки конденсатора электрическая энергия превращается в энергию магнитного поля тока, протекающего через катушку индуктивности, и полная энергия будет равна , когда конденсатор полностью разрядится, вся энергия перейдет в магнитную (где – наибольшая (амплитудная) величина тока в контуре). При перезарядке конденсатора энергия магнитного поля снова превратится в энергию электрического поля. В контуре возникают незатухающие электромагнитные колебания (напомним, что сопротивление в контуре считаем равным нулю).

Проводники контура всегда обладают электрическим сопротивлением, поэтому часть энергии в процессе колебания расходуется на нагрев проводников, т.е. переходит в тепловую. Вследствие этого амплитуда электромагнитных колебаний в контуре постепенно уменьшается, и в нем происходят затухающие колебания (рис. 3). При достаточно большом сопротивлении контура или малой индуктивности колебания в нем вообще не возникают, а происходит так называемый апериодический разряд конденсатора (рис. 4).

Получим уравнение колебаний в контуре (рис. 5), содержащем активное сопротивление R. По второму закону Кирхгофа можно записать:

. (1)

ЭДС индукции, возникающая в катушке, определяется так: . (2)

Заряд на конденсаторе , а ток

, (3)

тогда из (2) и (3) следует:

; .

Подставив последние выражения в (1), получаем уравнение электрических колебаний в контуре (колебания напряжения на конденсаторе):

. (4)

Как известно, полученное дифференциальное уравнение описывает затухающие колебания. Его решение имеет вид:

, (5)

где – коэффициент затухания, Т – период колебаний, – циклическая частота затухающих колебаний. В этом уравнении амплитуда колебаний меняется со временем (рис. 3).

; (6)

при этом

. (7) Время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз называется временем релаксации: .

Из формул (7) следует, что в контуре возможны затухающие колебания лишь в том случае, если , (частота и период – действительные величины).

Сопротивление, определенное из этого условия (8)

называется критическим.

Если сопротивление в контуре больше критического, то частота и период – мнимые величины. Колебания в таком контуре не возникают, а происходит апериодический разряд конденсатора (рис. 4).

Для характеристики степени затухания колебаний, кроме коэффициента затухания используется еще логарифмический декремент затухания.

Логарифмическим декрементом затухания колебаний называется натуральный логарифм отношения двух амплитудных значений напряжения, разделенных интервалом времени, равным периоду колебаний:

или , (9)

где – начальная амплитуда, – амплитуда n-го колебания.

Подставив в (9) значения и , получим

. (10)

Методика эксперимента

В этой работе напряжение на конденсаторе измеряется при помощи осциллографа. По картине, возникающей на экране осциллографа, можно определить период затухающих колебаний в контуре, исследовать характер затухания. Для периодического возбуждения колебаний в контуре используется генератор импульсов.

При измерении временных интервалов нужно использовать следующие рекомендации:

1) установить измеряемый интервал ручкой в центре экрана.

2) выбрать коэффициент развертки (ВРЕМЯ/ДЕЛ)

Точность измерения временных интервалов увеличивается при увеличении длины измеряемого интервала на экране.

Определить измеренный временной интервал как произведение длины измеряемого отрезка на экране по горизонтали (в делениях) на показание переключателя (ВРЕМЯ/ДЕЛ), размерность определяется положением переключателя “MSMS”.

Для определения коэффициента затухания β или логарифмического декремента затухания l непосредственно из сравнения колебаний нужно измерить амплитуду колебаний. Для этого определяем амплитуду колебаний, измеряя ее в делениях (по вертикали).

Приборы и оборудование

1. ГИ – генератор импульсов;

2. ЭО – электронный осциллограф;

3. ФПЭ-10а – модуль, в котором собран колебательный контур.

Порядок выполнения работы

1. Собрать схему согласно рис. 6.

Катушка индуктивности ( ) одним концом связана со штекером, который включается в гнезда “3” – “0”, остальные элементы схемы имеют следующие параметры:

2. В начале эксперимента штекер вставить в гнездо “0”. Включить осциллограф и генератор импульсов. Подобрать частоту развертки (переключателем ВРЕМЯ/ДЕЛ.) и амплитуду синхронизации ручкой “Уровень” так, чтобы на экране осциллографа устойчиво наблюдалась картина затухающих колебаний. Подобрать усиление по вертикали переключателем V/Дел. так, чтобы картина колебаний занимала полосу с высотой, примерно равной половине диаметра трубки.

3. Зарисовать цуг затухающих колебаний.

4. Измерив на экране осциллографа продолжительность t нескольких (n) колебаний, найти период Т и вычислить частоту колебаний .

5. Определить коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания по формулам (9), (10).

6. Повторить пункты 3, 4, 5 с сопротивлениями (вставляя штекер в другие гнезда).

7. Подключить и зарисовать вид синусоиды с экрана осциллографа.

8. Результаты измерений и вычислений занести в таблицу 1.

Таблица 1

R, Ом	T, мс	, кГц	, мс	, мс	, 1/c
57,8

Контрольные вопросы

1. Что такое электрический колебательный контур и как в нем возникают колебания?

2. Какие колебания называются свободными? Нарисовать электрическую схему контуров, в которых возникают незатухающие и затухающие колебания?

3. Чему равна электрическая энергия, запасенная в конденсаторе? Чему равна энергия магнитного поля катушки? Как перераспределяется энергия в контуре при незатухающих колебаниях.

4. Вывести дифференциальное уравнение затухающих колебаний в колебательном контуре.

5. Записать уравнение, определяющее характер изменения напряжения на обкладках конденсатора при наличии затухающих колебаний в контуре?

6. Чему равны коэффициент затухания и циклическая частота затухающих колебаний? Что называется временем релаксации?

7. Что такое логарифмический декремент затухания?

8. Получить зависимость между коэффициентом затухания и логарифмическим декрементом затухания.

9. Что такое критическое сопротивление? При каких условиях происходит апериодический разряд в контуре?

10. В идеальном колебательном контуре амплитуда колебаний силы тока в катушке индуктивности равна 5 мА, а амплитуда напряжения на конденсаторе 2,0 В. В момент времени t сила тока в катушке 3 мА. Найдите напряжение на конденсаторе в этот момент времени.

11. В идеальном колебательном контуре амплитуда колебаний силы тока в катушке индуктивности равна 10 мА. В момент времени t сила тока в катушке 2 мА. Найдите напряжение на конденсаторе в этот момент времени. Емкость конденсатора , а индуктивность катушки .

12. В идеальном колебательном контуре амплитуда колебаний силы тока в катушке индуктивности равна 10 мА. Найдите амплитуду напряжения на конденсаторе. Емкость конденсатора , а индуктивность катушки .

Литература:

1. Савельев И.В. Курс общей физики, 3-е изд. – М: Наука, 1988, Т. 2, параграф 90.

2. Ремизов А.Н. Медицинская и биологическая физика.– М: Высшая школа, 1987, глава 18.1.

3. Иродов И.Е. Основные законы электромагнетизма. – М: Высшая школа, 1991, гл. 11, параграф 11.1, 11.2.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 12

ИЗУЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ

КОНТУРЕ. РЕЗОНАНС В ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА.

Цель работы:изучение зависимости тока в колебательном контуре от частоты источника ЭДС, включенного в контур, и измерение резонансной частоты контура.

Приборы и принадлежности:звуковой генератор, ламповый вольтметр, измерительное устройство, включающее в себя R-, C-, L- элементы схемы.

Данные установки:

R_L = 85 Ом, R₁ = 36 Ом, R₂ = 100 Ом, R₃ = 330 Ом, L = 47 мГн, С = 22 нФ.

Теоретическое введение

Живой организм представляет собой систему колебательных структур различной природы. Способы описания колебаний одинаковы для любых процессов. Поэтому исследуем колебания в колебательном контуре. В теоретическом введении лабораторной работы 11 описаны свободные колебания (затухающие), возникающие в электрическом колебательном контуре.

Чтобы в реальной колебательной системе (содержащей сопротивление) получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью подключения к контуру переменного напряжения. Рассмотрим процессы, протекающие в колебательном контуре, подключенном к источнику, ЭДС которого изменяется по гармоническому закону:

. (1)

В любой момент времени сумма падений напряжения на элементах цепи равна ЭДС (рис.1):

. (2)

Падение напряжения на катушке индуктивностью L (равное ЭДС индукции)

, (3)

ток в катушке и в контуре

. (4)

Подставляем (3) и (4) в (2) , вводим обозначения , (5)

где – собственная частота контура, – коэффициент затухания.

Получаем дифференциальное уравнение второго порядка

. (