Дифференциальный дроссель-эффект в однофазных областях. Точки инверсии

Для анализа изменения α_i в этих областях лучше всего воспользоваться первым уравнением (4.4):

. (4.4)

Частная производная определяется по формуле П1.11 (приложение П1):

,

откуда

. (7.1)

Рис. 7.1. Изотермы в P-V диаграмме реального газа

Для газов повышение температуры при постоянном объеме всегда вызывает рост давления, т.е. .

Таким образом, для определения характера изменения в формуле (7.1) величины при изменении температуры в условиях P = const, необходимо знать характер изменения величины изотермической упругости , которая всегда меньше нуля.

Как известно, частная производная – это угловой коэффициент кривой при заданной температуре Т (в Р-V координатах это тангенс угла наклона к оси V касательной в данной точке к кривой P = P(V)).

Как следует из рис. 7.1. при P = const вне пограничной кривой AKF слева и справа от изохоры V_КР = const, повышение температуры вызывает разное по знаку изменение .

Справа от прямой V_КР = const в точках пересечения с изотермами t₄ = const, t₅ = const и t₆ = const (точки 4, 5 и 6 соответственно) угол наклона касательных к оси V возрастает по мере увеличения температуры.

Слева от прямой V_КР = const в точках пересечения изобары P = const с изотермами t₁ = const, t₂ = const и t₃ = const (точки 1, 2 и 3 соответственно) угловой коэффициент изотермы в этих точках (крутизна изотерм) наоборот убывает с повышением температуры.

Таким образом, для любого значения P = const, не превышающего некоторое значение P_im > P_K (см. следующий параграф) должны существовать две изотермы (обозначенные и ), у которых в точках пересечения с изобарой P = const выполняется равенство:

.

Изотерма расположена слева от изохоры V_КР = const, а – справа.

Числитель формулы (4.4) при этом становится равным нулю и дифференциальный дроссель-эффект α_i в этих точках, нижней и верхней, также обращается в нуль.

Дальнейший переход от «верхней» точки к изотермам с более высокими температурами ( ) приведет к тому, что будет выполняться неравенство

, то есть α_i поменяет знак на отрицательный.

Переход от «нижней» точки к изотермам с меньшими температурами ( ) также приведет к выполнению неравенства , т.е. α_i также поменяет знак с положительного на отрицательный.

Состояние, при котором α_i меняет знак, называется точкой инверсии.

Таким образом, точки, которые выше обозначались как «нижняя» и «верхняя», являются нижней и верхней инверсионными точками при заданном значении Р. При другом значении Р существуют две другие точки инверсии и т.д.

Таким образом, множеству значений Р < P_im соответствует такое же множество пар точек инверсии.

Инверсионная кривая

Геометрическое место точек инверсии называется инверсионной кривой. Инверсионная кривая – это совокупность левой и правой инверсионных кривых. На левой инверсионной кривой лежат все нижние точки инверсии, а на правой – все верхние.

Построение инверсионной кривой в P-V координатах иллюстрируется рис. 8.1.

Как следует из рис. 8.1. инверсионная кривая огибает пограничную кривую. Внутри инверсионной кривой α_i > 0, т.е. дросселирование вызывает уменьшение температуры, а вне (α_i < 0) – увеличение температуры рабочего тела.

Рис. 8.1. Построение инверсионной кривой в Р-V координатах

Из рис. 8.1. так же следует, что при давлении ниже критического Р_К нижние точки инверсии соответствуют дросселированию жидкости, так как находятся левее нижней пограничной кривой вещества (х = 0). Верхние точки инверсии располагаются правее верхней пограничной кривой (х = 1) и поэтому соответствуют дросселированию газа.

Как известно, пар – это газообразное состояние вещества при температуре ниже критической. Критическая изотерма, как видно из рис. 8.1, располагается внутри инверсионной кривой, поэтому вся область перегретого пара находится внутри инверсионной кривой, где α_i > 0. Таким образом, при адиабатном дросселировании перегретый пар охлаждается.

Инверсионную кривую обычно представляют в Р-Т координатах (рис. 8.2). При начальном давлении дросселирования с любой начальной температурой t₁, всегда α_i < 0, т.е. дросселирование сопровождается нагреванием газа. При любом начальном давлении Р₁ с начальной температурой дросселирования дросселирование также всегда приводит к нагреванию газа (α_i < 0).

Рис. 8.2. Инверсионная кривая для азота

Для того, чтобы получить эффект охлаждения, необходимо так понизить начальную температуру t₁, чтобы точка с координатами (Р₁, t₁) оказались внутри инверсионной кривой.

При дросселирование также приводит к нагреванию рабочего тела при любых значениях начального давления Р₁. В этом случае, для того, чтобы получить эффект охлаждения, необходимо так повысить начальную температуру t₁, чтобы точка с координатами (Р₁, t₁) оказалась внутри инверсионной кривой. Таким образом, дросселирование приводит к охлаждению рабочего тела (жидкости или пара) при всех сочетаниях термодинамических параметров состояния вещества перед дросселем (Р₁, t₁), соответствующих точкам внутри области, ограниченной сверху инверсионной кривой.

Для получения уравнения инверсионной кривой в явном виде необходимо знать уравнение состояния данного вещества и использовать его в формулах (4.4) или (4.5) при α_i = 0:

(8.1)

или

. (8.2)

Уравнения (8.1) и (8.2) называются уравнениями инверсионной кривой.

Если продифференцировать (8.1), полагая Р и V функциями температуры, то можно получить еще одно уравнение инверсионной кривой в общем виде:

. (8.3)

Подробный вывод этого уравнения в варианте автора данного пособия дается в приложении (П.2).

В точке максимума на инверсионной кривой (рис. 8.2) , поэтому для выполнения равенства (8.3) необходимо, чтобы

.

Так как Т ≠ 0, то окончательно условие максимума инверсионной кривой приобретает следующий вид:

. (8.4)

Для того, чтобы записать это уравнение в явном виде, необходимо знать конкретный вид уравнения состояния реального газа (Ван-дер-Ваальса, Дюпре и др.).