Дифференцирование по параметру собственного интеграла с постоянными пределами интегрирования
Теорема 2.10 Пусть функция f(x, у) непрерывна на П, а функции а(у), b(у) непрерывны на [с; d]. Тогда функция I(у), определённая равенством (2.6),непрерывна на [с; d].
Доказательство. Пусть y [с; d]. Покажем, что
Для этого разобьём интеграл на три слагаемых, используя свойство аддитивности интеграла.
(2.7)
Здесь интегралы обозначены в порядке следования. Рассмотрим каждый из них в отдельности. Первый из интегралов — интеграл с постоянными пределами вида 2.1, его непрерывность доказана в теореме 2.7. Поэтому
Займемся вторым интегралом. Функция f(x, у) непрерывна на П, следовательно, ограничена. Поэтому существует постоянная М такая, что
П.
Но тогда
А так как функция b(у) непрерывна на [с; d], то при
, поэтому
Совершенно аналогично доказывается, что и
Таким образом,
что и требовалось доказать.
Собственные интегралы, зависящие от параметра для прямоугольника и их свойства
Теорема 4 (о непрерывности интеграла как функции параметра). Пусть функция определена и непрерывна в прямоугольнике
, тогда интеграл
будет непрерывной функцией от параметра
в промежутке
.
Доказательство.
Так как непрерывна на замкнутом множестве, то по теореме Кантора она равномерно непрерывна на данном прямоугольнике
. Возьмем любое
и зафиксируем
. Тогда нашему значению
будет соответствовать
, такое, что для любых двух точек
,
принадлежащих
, из неравенств
и
, будет следовать
. Положим
,
, где
,
- любые из
, и
, где
. Тогда получим
. Это означает, что функция
равномерно стремится к
. В таком случае по теореме 3
, а уже отсюда следует равенство
, то есть наша функция
непрерывна на
.
Замечание 4. Совершенно аналогично доказывается теорема для , где
.
Следствие 2. Если непрерывна на прямоугольнике
, то
.
Циркуляция векторного поля. Циркуляция как работа в силовом поле
Циркуля́цией ве́кторного по́ля называется криволинейный интеграл второго рода, взятый по произвольному замкнутому контуру Γ. По определению
где — векторное поле (или вектор-функция), определенное в некоторой области D, содержащей в себе контур Γ,
— бесконечно малое приращение радиус-вектора
вдоль контура. Окружность на символе интеграла подчёркивает тот факт, что интегрирование производится по замкнутому контуру. Приведенное выше определение справедливо для трёхмерного случая, но оно, как и основные свойства, перечисленные ниже, прямо обобщается на произвольную размерность пространства.
Свойства
Аддитивность
Циркуляция по контуру, ограничивающему несколько смежных поверхностей, равна сумме циркуляций по контурам, ограничивающим каждую поверхность в отдельности, то есть
Формула Стокса
Циркуляция вектора F по произвольному контуру Г равна потоку вектора через произвольную поверхность S, ограниченную данным контуром.
где — ротор (вихрь) вектора F.
В случае, если контур плоский, например лежит в плоскости OXY, справедлива теорема Грина
где — плоскость, ограничиваемая контуром
(внутренность контура).
Если F — некоторое силовое поле, тогда циркуляция этого поля по некоторому произвольному контуру Γ есть работа этого поля при перемещении точки вдоль контура Г. Отсюда непосредственно следует критерий потенциальности поля: поле является потенциальным когда циркуляция его по произвольному замкнутому контуру есть нуль. Или же, как следует из формулы Стокса, в любой точке области D ротор этого поля есть нуль.
44. Поток векторного поля и его вычисление
Понятие потока векторного поля удобно рассматривать на примере потока жидкости, движущейся через некоторую поверхность. Объем жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность, расположенную в движущейся жидкости, назовем потоком жидкости через эту поверхность.
Пусть поверхность S расположена в поле скоростей частиц несжимаемой жидкости с плотностью ρ = 1. Можно показать, что поток векторного поля в этом случае равен
где – единичный нормальный вектор к поверхности S, расположенный по одну сторону с вектором
, а величина
.
Независимо от физического смысла вектора интеграл (3.34) по поверхности называют потоком векторного поля через поверхность S.
Пусть и
тогда поток П вектора
через поверхность S можно записать в виде:
Или учитывая связь поверхностных интегралов первого и второго родов, можно записать поток П через поверхностный интеграл в координатах:
ПРИМЕР 1. Ориентированные поверхности.
Непосредственное вычисление потока. Поскольку поток векторного поля определен с помощью поверхностного интеграла, вычисление потока сводится к вычислению такого интеграла от функции , где
- компоненты векторного поля,
- направляющие косинусы вектора нормали.